Теодолитные ходы. Обработка результатов измерений в теодолитном ходе. Теодолитные ходы прокладывают для развития съемочного обоснования в населенных пунктах на местности

Теодолитные ходы прокладывают для развития съемочного обоснования в населенных пунктах на местности, покрытой вы­сокой растительностью, на небольших открытых площадях.

Теодолитным ходом называют полигонометрический ход, в котором углы между сторонами измеряют техническим теодолитом, а стороны — землемерными лентами, рулетка­ми или оптическими дальномерами равной им точности (относи­тельная погрешность 1/ Т = 1/1000 — 1/3000).

Рис. 3. Схема теодолитных ходов:

а — разомкнутого; 6 — замкнутого

Различают разом­кнутый и замкнутый теодолитные ходы.

Разомкнутый теодолитный ход (рис.3, а) опирается на исходные пункты В и С геодезической сети, замкнутый (рис. 3, б) — может опираться на исходный пункт одной вершиной. Висячий теодолитный ход 4 – m – t - е (см. рис. 3, б) допуска­ется как исключение в сложной ситуации.

Теодолитные ходы прокладывают с учетом их дальнейшего использования для съемки местности, поэтому до начала поле­вых работ составляют проект теодолитных ходов на имеющемся плане более мелкого масштаба или на глазомерно составленном чертеже местности. В процессе рекогносцировки (детального ос­мотра местности) уточняют составленный проект и окончательно выбирают местоположение вершин съемочного обоснования, за­тем закрепляют их временными или постоянными знаками.

Длины сторон теодолитного хода должны быть не менее 20 м и не более 350 м.

Плановые координаты пунктов съемочного обоснования оп­ределяются относительно пунктов государственной геодезичес­кой сети или сетей сгущения с погрешностью, которая не долж­на превышать 0, 2 мм в масштабе плана на открытой или застро­енной местности и 0, 3 мм в масштабе плана на местности, по­крытой кустарником или лесом (закрытой местности). Поэтому длины теодолитных ходов ограничивают в зависимости от масштаба предстоящей топографической съемки и относительной точ­ности измерения сторон хода 1/Т (табл. 1).

Таблица 1 Технические требования к теодолитным ходам

Допустимая длина теодолитного хода, км

Измерение углов и сторо н. В теодолитных ходах чаще всего измеряют правые по ходу углы теодолитом ТЗО двумя полуприе­мами с соблюдением технических мер по устранению погрешно­стей, рассмотренных в теме 2.1. Длины сторон измеряют в прямом и обратном направлении. Техника измерений предусматривает ус­транение грубых и уменьшение систематических погрешностей. При вычислении горизонтального проложения измеренных рас­стояний учитываются поправки за компарирование, температу­ру и наклон (см. тему 2.2.).

Привязка теодолитного хода к исходным пунктам геодези­ческой сети. Рассмотрим следующие случаи привязки.

Случай 1. Теодолитный ход В-1... 3-С (рис. 3, а) опирает­ся на пункты В и С геодезической сети. В этом случае необходи­мо измерить правые по ходу примычные углы β _o и β _n на началь­ном и конечном пунктах, откуда видны соседние пункты А и D опорной геодезической сети. Замкнутый теодолитный ход на рис. 3, б опирается на пункт N полигонометрической сети. Для при­вязки хода к геодезической сети в вершине N измеряют примычный угол β _o начальной стороны N—M и примычный угол β _k для конечной стороны 4-N.

Случай 2. Замкнутый теодолитный ход проложен вокруг объекта съемки на некотором удалении от пунктов исходной геодезической сети. Для его привязки прокладывают не менее двух привязочных теодолитных ходов между опорными пунктами и вершинами замкнутого хода с измерением всех примычных углов.

Рис.4. Привязка теодолит­ного хода к стенным пунктам

Случай 3. Исходные пункты А и В закреплены на стенах зданий (рис.4). Для привязки точки 1 хода измеряют расстояния 1А и 1В, а так­же внутренний угол β _o треугольника А1В и внешний угол β ₁ . По извест­ным координатам пунктов А и В, ре­шая обратную геодезическую задачу, вычисляют дли­ну линии АВ и ее дирекционный угол α _1. Из треугольника А1В по теореме синусов находят углы β _А, γ и длины S_A, S_B сторон А-1 и В-1 соответственно, тогда дирекционный угол стороны А-1 будет равен α _A = α ₁ + β ₁ , стороны В-1 – α _В = α ₁ + 180° - γ. По найден­ным значениям длины и дирекционного угла сторон А-1 и В-1 можно вычислить координаты точки 1 относительно пункта А и для контроля — относительно пункта В по формулам прямой гео­дезической задачи. Через примычный угол β ₁ вычисляется дирекционный угол линии 1—2 теодолитного хода.

Результаты полевых измерений по прокладке теодолитных ходов записывают в специальном полевом журнале. В камеральных условиях проверяют записи, повторно вычисляют углы, дли­ны сторон, затем в измеренные расстояния вводят поправки за компарирование, наклон и температуру. Для последующих вы­числений составляют пояснительную схему теодолитных ходов в произвольном масштабе, на которой указывают величины изме­ренных углов и горизонтальных расстояний.

Угловая невязка замкнутого теодолитного хода. Для вы­числения угловой невязки суммируют все внутренние измерен­ные правые по ходу углы замкнутого хода (см. рис. 3, б), ис­ключая примычные, и вычисляют теоретическую сумму внут­ренних углов хода, представляющего собой n-вершинный много­угольник ∑ β теор = 180° (п - 2).

Разность ƒ _β суммы измеренных углов β ' и теоретической сум­мы углов замкнутого многоугольника, равной 180°× (n — 2), на­зывают угловой невязкой хода, т.е.

(1)

Если бы измеренные углы β ' получали без погрешностей, то невязка ƒ _β равнялась бы нулю. Практически величина ƒ _β харак­теризует качество измерения углов. Допустимая угловая невяз­ка вычисляется по формуле

(2)

Допустимая по­грешность Δ _{∑ пред} обозначена через ƒ _{β доп}, удвоенная погрешность измерения угла 2m = 1'.

Фактическая невязка ƒ _β не должна превышать допустимой величины, в противном случае необходимо проверить результа­ты вычислений и измерений и устранить грубые погрешности в значениях β ' _i.

Уравнивание измеренных углов. Если угловая невязка до­пустима, измеренные углы β ' _i уравнивают, т.е. между ними при­близительно поровну распределяют фактическую невязку ƒ _β , раз­битую на поправки, противоположные по знаку невязке:

(3)

и округленные до 0, 1'. Причем сумма поправок должна равнять­ся невязке с обратным знаком, т.е.

(4)

Поправки υ _{β i} прибавляют к измеренным углам β ' _i:

(5)

и этим их уравнивают (упрощенным способом). Сумма уравнен­ных углов должна равняться теоретической сумме.

Пример 1. Определить угловую невязку, ее допустимую ве­личину, если в замкнутом теодолитном ходе с тремя вершинами измерены углы, значения которых β '₁ = 30° 01', β '₂= 59° 59' и β '₃ = 90° 01'. Уравнять измеренные углы.

Решение. Найдем угловую невязку ƒ _β = 180° 01' - 180° 00' = = +0° 01'; ƒ _{β доп} = 1^׀ √ 3= 1, 7'; получим поправки υ _i = -1' /3 = = -0, 333 и округлим υ ₁ = - 0, 3'; υ ₂ = - 0, 3'; υ ₃ = - 0, 4'; при этом

∑ υ _i = -1'. Уравненные углы β '₁ = 30° 00, 7'; β '₂= 59° 58, 7'; β '₃ = 90° 00, 6'. Их сумма будет равна 180° 00'.

Рис. 5. Дирекционные углы сторон и координаты вершин теодолитного хода

Угловая невязка разомкнутого теодолитного хода. В разом­кнутом теодолитном ходе (рис. 5), опирающемся на исходные геодезические пункты В (триангуляции) и С (полигонометрии), измерены примычные углы β ₁ и β _n, являющиеся правыми по ходу, как и углы β ₂, β ₃..., β _n-1 между сторонами хода. Число n изме­ренных углов на единицу больше числа n—1 сторон. Предположим, что измеренные углы β ' _i; после уравнивания получили значения β _i. Зная начальный дирекционный угол α _н стороны АВ триангуляции и примычный угол β _i, найдем дирекционный угол α ₁ стороны хода В-1. Согласно рис.5 при вершине В сумма углов α ₁+ β ₁ = α _н + 180°, при вершине 1 — α ₂+ β ₂ = α ₁ + 180° и т.д. Отсюда получим:

(6)

Обобщив выражение (6), можно записать

(7)

т.е. дирекционный угол следующей стороны равен дирекционному углу предыдущей плюс 180°, минус правый по ходу угол между этими сторонами теодолитного хода. Используя формулы (6), находим

Из последнего соотношения найдем теоретическую сумму уг­лов разомкнутого теодолитного хода:

Поскольку измеренные правые по ходу углы β _i содержат по­грешности Δ β _i, сумма измеренных углов не равна их теоретиче­ской сумме на величину невязки:

(8)

Допустимая угловая невязка теодолитного хода ƒ _{β доп}= 1' √ n.Уравнивают измеренные углы разомкнутого хода так же, как и замкнутого.

Если в теодолитном ходе измерены левые по ходу углы, то формулы (7) и (8) примут вид

(10)

Правые измеренные „углы теодолитного хода β ^΄ _i записаны в табл.2, вычислены Σ β ^΄ _i и

Σ β _теор = 111° 50, 8' + 180° • 5 - 260° 50, 8' = 751° 00, 0', указаны ƒ _β и ƒ _{β доп}, поправки к углам и

уравненные углы.

Дирекционные углы сторон теодолитного хода последовательно вычисляют по формуле (7), начиная от α _n, и при отсутствии погрешностей в вычислениях получают значения α _k. Результаты вычислений даны в графе 4 табл. 2. Румбы находят по форму­лам, приведенным в табл. 1, и записывают в графе 5.

Вычисление погрешностей и оценка точности теодолитно­го хода. В графе 6 табл. 2 записывают длины d _i сторон теодо­литного хода в горизонтальном проложении, рассчитанные с уче­том поправок за компарирование, наклон и температуру. Прира­щения координат Δ х^΄ _i и Δ у^΄ _i. находят по формулам (1, см.тема 1.1.) и за­писывают в таблице со знаком " плюс" или " минус" соответ­ственно направлению стороны и. (см. рис.7, см.тема 1.1.). При учебных вычислениях пользуются микрокалькуляторами или таблица­ми приращений координат, результаты вычислений округля­ют до 0, 01 м.

Согласно рис.5 приращения координат Δ х^΄ _i и Δ у^΄ _i представ­ляют собой проекции сторон d _i на оси абсцисс и ординат, а теоре­тические суммы таких проекций:

(11)

где х_с – х_в и у_с – у_в - разности координат конечного и начально­го исходных пунктов.

Вследствие погрешностей в значениях дирекционных углов α _ί и сторон d _i вычисленные приращения Δ х^΄ _i и Δ у^΄ _i. и их суммы ∑ Δ х^΄ _i и ∑ Δ у^΄ _i также содержат погрешности, поэтому условие (11) точно не выполняется. Разности координат конечного х_к и у_к и начального х_н и у_н исходных х_к — х_н, у_к — у_н пунктов представ­ляют собой теоретические суммы приращений координат, т.е.

∑ Δ х_теор = х_к — х_н; ∑ Δ у_теор = у_к — у_н . Расхождения в суммах вычисленных и теоретических приращений координат называ­ются невязками ƒ _х и ƒ _у приращений координат:

(12)

Величины ƒ _х и ƒ _у являются ка­тетами прямоугольного треугольни­ка погрешностей

(рис.6), гипо­тенуза которого СС' = ƒ _d называет­ся линейной или абсолютной невяз­кой теодолитного хода:

(13)

По формулам обратной геодези­ческой задачи (3), (4, см.т. 1.1.) можно определить румб и дирекционный угол линейной невязки ƒ _d.

Рис..6. Абсолютная линейная невязка

Относительная невязка теодолитного хода выражается дро­бью с единицей в числителе, равной отношению невязки ƒ _d к длине хода ∑ d _i, т.е.

(14)

Допустимая относительная невязка хода определяется по­грешностями линейных и угловых измерений: для благоприят­ных условий местности — 1: 3000, для средних (небольшие неров­ности, местами трава) — 1: 2000, для неблагоприятных (рыхлый грунт, заросли травы и т.д.) — 1: 1000. Допустимая абсолютная невязка для этих же условий

ƒ _{d доп} = ∑ d _i / 3000; ƒ _{d доп} = ∑ d _i / 2000; ƒ _{d доп} = ∑ d _i / 1000 соответственно (см. табл. 2).

В нашем примере (см. табл.2) подсчитаны значения всех величин, необходимых для вычисления невязок, найдены фактическая линейная невязка хода ƒ _d, относительная невязка ƒ _d/∑ d _i = 1/2112 и показано, что ее величина меньше допустимой относительной невязки 1/2000.

Уравнение приращений координат. Если фактическая не­вязка хода ƒ _d допустима, то к вычисленным приращениям коор­динат Δ х^΄ _i и Δ у^΄ _i добавляют поправки υ _{х i} и υ _{у i}, представ-ляющие собой части невязок ƒ _х и ƒ _у, пропорциональные длинам d _i сторон хода, а знак поправок противоположен знаку соответствующих невязок:

(15)

В формулах (15) К_х и К_у — коэффициенты пропорциональ­ности:

(16)

Поправки проверяются по условию равенства их суммы соот­ветствующей невязке, взятой с обратным знаком:

(17)

Уравненные приращения координат находят путем прибав­ления к вычисленным приращениям соответствующих поправок:

(18)

В нашем примере над значениями Δ х^΄ _i и Δ у^΄ _i указаны поправ­ки υ _{х i} и υ _{у i} (см. табл. 2, графы 7 и 8). Для них К_х = - (+0, 15): 658, 12 = 0, 000 224; υ _{х i} = К_х × d ₁ = К_х · 151, 92 = -0, 03 м; υ _х2 = К_х ·119, 2 = - 0, 03 м и т.д. Сумма поправок υ _{х i} равна невязке ƒ _х с обратным знаком, т.е. ∑ υ _{х i} = - ƒ _х = 0, 15. В графе 9 записаны уравненные приращения Δ х_ί и их сумма ∑ Δ х_ί = — 215, 54, которая совпала с разностью х_к — х_н.

Вычисление координат. Координаты х_ί и у_ί вершин теодо­литного хода последовательно вычисляются по формулам

(19)

т.е. абсцисса х_ί и ордината у_ί следующей вершины равны абсцис­се и ординате х_{ί -1} и у_{ί -1} предыдущей вершины плюс соответ­ствующие уравненные приращения координат Δ х _i и Δ у _i

Для контроля в конце вычислений получают значения х_к и у_к, которые должны равняться исходным, тогда результаты, записанные в графах 7, 8, 9 и 10 (табл. 2), будут найдены без по­грешностей.

Замкнутый теодолитный ход. Пункт N стороны NМ полигонометрии (см. рис.3, б) служит исходным для замкнутого тео­долитного хода N-1,..., 4-N. Для определения дирекционного угла α _н первой стороны хода N-1 измеряется примычный угол β ₀, а для контроля — примычный правый по ходу угол β _к конечной стороны 4-N хода. В целом вычисления в координатной ведомо­сти аналогичны расчетам для разомкнутого теодолитного хода.

Пример 1. Вычислить координаты вершин замкнутого теодо­литного хода, если исходный дирекционный угол стороны N-М полигонометрии α _n=154°40', измеренные значения примычных углов β ₀ = 100°09, 5'; β _к = 328°29, 5', внутреннего угла теодолит­ного хода β _n = 68°40'.

Р е ш е н и е. Вначале по этим данным находим дирекцион­ный угол α ₁ первой стороны N-1 теодолитного хода. Согласно рис.3, б α ₁ = α _н - β ₀ = 154°40' - 100°09, 5' = 54°30, 5';

кон­троль: α ₁ = α _н + β _к - β _п = 154°40' + 328°29, 5' - 68°40' = 414°29, 5', или α ₁ = 414°29, 5' - 360° = 54°29, 5'. Поскольку допустимо расхождение величин угла α ₁ (он же является на­чальным дирекционным углом), за окончательный результат принимаем среднее α ₁ = 54°30'. Значение α _н = α ₁ записываем в координатную ведомость (табл.3, графа 4).

В графе 2 записаны значения измеренных правых по ходу внутренних углов β ' _i замкнутого хода, их сумма ∑ β ' _i и теорети­ческая сумма углов β _i = 180° (п - 2). Невязка ƒ _β , ее допустимая величина, поправки в измеренные углы и уравненные углы расчитаны по формулам (1)— (5). Сумма уравненных углов ∑ β _i = 540°00' равна их теоретической сумме.

В графе 4 записаны значения дирекционных углов, последо­вательно вычисленных по формуле (7) с контролем по значе­нию исходного дирекционного угла α ₁ = α _н = α _к стороны

N-1 теодолитного хода. Вычисленные приращения координат Δ х ' _i и Δ у ' _i записаны со своим знаком, подсчитаны их суммы. Посколь­ку пункт N с известными координатами х _н, y _н в данном случае является и начальным и конечным, в формулах (12) х_к - х_н = 0 и у _к – у _н = 0, т.е. в замкнутом теодолитном ходе теоретические суммы приращений координат равны нулю, а невязки вычисленных приращений - соответствующим суммам вычисленных приращений:

(20)

В нашем примере абсолютная линейная невязка хода ƒ _d = 0, 32 см, относительная величина этой невязки ƒ _d /Σ d_i = 1/4148 удовлетворяет допустимой относительной невязке 1/2000. Поправ­ки υ _xi, υ _уi к вычисленным значениям Δ х ' _i и Δ у ' _i найдены по фор­мулам (15), (16), суммы поправок проверены по форму­лам (17). Уравненные координаты получены по формулам (18), а искомые координаты вершин хода — по формулам (19).

НАЗЕМНЫЕ ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ СЪЕМКИ