Операции над матрицами

Элементы линейной алгебры

Матрицы

Обозначения: A, или А = (а_ij), или А = || а_ij ||,

где a_ij – элементы матрицы, причем индекс i в элементе a_ij означает номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Квадратнойматрицей n-го порядка называется матрица размера n x n.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали (т.е. с индексами i ¹ j) равны нулю.

Единичной (Е) называется диагональная матрица со всеми единицами на главной диагонали.

Операции над матрицами

Суммаматриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинакового размера есть матрица С = (с_ij) того же размера (A + B = C), причем c_ij = а_ij + b_ij " i, j.

Разность матриц А = (a_ij) и В = (b_ij) одинакового размера определяется как сумма матрицы А и умноженной на –1 матрицы В (С =A - B = A + (-1) B), т.е. c_ij = а_ij - b_ij " i, j.

Задание для самоконтроля: Найти линейную комбинацию матриц

1) 2 А + 3 В, где А = , В = . 2) А – λ Е, где А = .
Произведением АВ матриц А и В (размером m x n и n x r соответственно) называется

Т.о. каждый элемент с_ij матрицы С равен сумме произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы А и j -го столбца матрицы В. Другими словами, чтобы найти элемент с_ij нужно умножить элементы i -ой строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить.

Произведение АВ существует, только если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом, если размеры матриц А и В m x n и n x r соответственно, то размер матрицы С будет m x r: ([ m x n ] × [ n x r ] = [ m x r ]).

Задание для самоконтроля:

1) Найти (если возможно) произведение матриц: 1) , 2) .

2)Найти значение матричного многочлена f (A), если: f (х) = -2 х ² + 5 х + 9, А = .

В общем случае АВ ¹ ВА. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными (коммутирующими).

Задание для самоконтроля:

1) Проверить, коммутируют ли матрицы: 1) , 2) .

Задание для самоконтроля:

1) Транспонировать матрицы: 1) , 2) , 3) .

Ступенчатая матрица (на примерах):

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие операции:

1. Перестановка местами двух строк (столбцов) .

2. Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Добавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.

 

Матрица В, полученная из матрицы А с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной матрице А (В ~ A).

Задание для самоконтроля:

Привести к ступенчатому виду матрицы: 1) 2) 3) .

 

Контрольные вопросы:

1. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?
2. Если матрицы А и В можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать?
3. Можно ли умножить квадратную матрицу на неквадратную?
4. Может ли произведение неквадратных матриц быть квадратной матрицей?
5. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться нулевая матрица?
6. Могут ли совпадать матрицы А и А ^Т?
7. Как выглядит матрица (А ^Т)^Т?
8. Верно ли равенство (А + В)^Т = А ^Т + В ^Т?
9. Верно ли равенство (А + Е) (А – Е) = А ² – Е?
10. Могут ли быть эквивалентными матрицы с различным количеством строк? столбцов?
11. Может ли нулевая матрица быть эквивалентной ненулевой матрице?

 

 

12345678910Следующая ⇒