Задача №6. Условие задачи: оценить устойчивость замкнутой САУ заданному критерию устойчивости.

Условие задачи: оценить устойчивость замкнутой САУ заданному критерию устойчивости.

Критерий Михайлова формулируется следующим образом: САУ является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до +¥ годограф вектора Михайлова a (j w) начинается на положительной части вещественной оси и нигде не обращаясь в 0, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости (n – порядок характеристического уравнения).

Выражение для расчета и построения годографа получают подстановкой в характеристическое уравнение вместо оператора Лапласа комплексной переменной j w:

a (j w) = a ₀(j w) ⁿ + a ₁(j w) ^{n –1}+...+ a_{n –1}(j w)+ a_n.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ, полученное при решении Задачи №5, имеет вид:

После приведения к полиномиальному виду (в Mathcad данная операция может быть выполнена с применением команды Simplify):

Запишем выражение для расчета годографа Михайлова:

Годограф строится для значений частоты входного сигналаw от 0 до +¥. На практике для каждой САУ диапазон рассматриваемых частот подбирается индивидуально. Верхний предел подбирается экспериментально в режиме увеличения так, чтобы годограф имел законченный вид – уходил в бесконечность в некотором квадранте комплексной плоскости. В Mathcad введем формулу для расчета годографа А (ω), диапазон изменения аргумента (частоты w) примем от 0 до 5 с шагом 0.01 и построим график.

Как видно, годограф Михайлова для заданной замкнутой САУ начинается на отрицательной части действительной оси комплексной плоскости (при w=0 Re(A (w))=-1.04). Таким образом, по критерию Михайлова замкнутая САУ неустойчива, что согласуется с оценкой устойчивости по теореме Ляпунова, выполненной при решении Задачи №5.