систем методом пространства состояний

Использование преобразование Лапласа создает определенные удобства при оперировании со звеньями, описываемыми уравнениями с постоянными коэффициентами. Применяя преобразование Лапласа к уравнениям состояния (1) при нулевых начальных условиях, найдем соответствующие им уравнения в изображениях

Разрешив последнее выражение относительно вектора состояния и вектора выходных координат, получим искомые алгебраические соотношения:

Обозначая

запишем соотношения, устанавливающие зависимость между управляющим воздействием и векторами состояния и выходных координат соответственно:

(5)

Матрица , связывающая вектор управления и вектор состояния в пространстве изображений по Лапласу называется передаточной матрицей по состоянию при нулевых начальных условиях.

Матрица , связывающая вектор управления и вектор выхода называется передаточной матрицей по выходу при нулевых начальных условиях.

Последние являются матричными функциями, размер матриц которых определен размерностью входных и выходных векторов. Если входное воздействие является векторным, то реакция системы зависит от всех составляющих входного вектора.

Передаточная матрица по состоянию однозначно определяется уравнением состояния, однако для одной и той же передаточной матрицы могут отвечать несколько различных уравнений состояния.

Размер передаточных матриц по состоянию и выходу определяется размерностью входных и выходных векторов.

Пример 1. Определить матричную экспоненту и вынужденное движение системы.

Дифференциальное уравнение системы имеет вид:

Перейдём к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Введём обозначения .

С учетом выражений введённых обозначений можно записать:

Перейдём к векторно-матричной форме записи:

, где .

Определим матричную экспоненту путём разложения в степенной ряд.

.

Определим вектор состояния для заданной системы в соответствии с формулой

.

Пусть , тогда

Определим матричный экспоненциал с помощью обратного преобразования Лапласа .

1. ; ;

2. ;

3. .

Если на вход системы подаётся единичный мгновенный импульс, т.е. , то реакция системы (импульсная переходная функция) определяется выражением:

.

Пример 2. Определить переходную матрицу системы по состоянию и по выходу.

Пусть , где .

Тогда соответственно

Передаточная матрица по состоянию .

Передаточная матрица по выходу .

Пример 3. Определить переходную и весовую матрицы динамической системы с использованием теоремы Кэли–Гамильтона.

Дифференциальное уравнение системы имеет вид: .

Выбирая в качестве переменных состояния координаты положения и скорости

для матриц , , , получим следующее описание:

; ; ;

Вычислим матричную экспоненту по теореме Кэли–Гамильтона в виде интерполяционного полинома для системы порядка

Коэффициенты и найдем, решая систему уравнений .

Корни характеристического уравнения найдем, раскрывая определитель

.

Искомые коэффициенты интерполяционного полинома , тогда

.

После выполнения вычислений целесообразно проверить, что при матричная экспонента соответствует единичной матрице.

Выбирая в качестве начальных условий , что соответствует движению с некоторой начальной скоростью, найдем свободное движение системы , что соответствует движению по инерции и торможению.

Весовая матрица в данном случае вырождается в скалярное выражение и соответствует импульсной переходной функции скалярной системы

.

Определим реакции системы по вектору состояния на ступенчатое воздействие , пользуясь матрицей перехода. При нулевых начальных условиях для текущего значения вектора состояния получим

.

Интегрируя, найдем значение координат положения и скорости

.

Пример 4. Определить матрицу перехода с использованием для системы, рассмотренной в примере 3:

.

Вычисляя оригиналы элементов обратной матрицы, найдем матрицу перехода

,

что совпадает с результатом, полученным на основании теорем Кэли–Гамильтона и Сильвестра.

Найдем реакцию системы на ступенчатое воздействие

Изображение вектора состояния имеет вид: .

Переходя к оригиналам: ,

.

что совпадает с результатом, полученным выше интегрированием во временной области.

Пример 5. Рассмотрим уравнение системы «вход–состояние» (См. лабораторная работа № 2):

Найдем собственные значения матрицы

.

Матричный экспоненциал имеет вид

Пусть . Тогда выражение для вектора состояния системы запишется так:

Отсюда для компонент вектора состояния имеем

.

Пример 9. Определить передаточные функции системы с тремя состояниями, двумя воздействиями и двумя выходами, структурная схема которой показана на рис. 2

Рис. 2. Структурная схема системы

Уравнения состояния для структурной схемы системы имеют вид

.

Векторы воздействий и выходных координат выбраны в виде

и .

Для матриц , , из уравнений состояния получим

; ; .

Передаточная функция системы с двумя входами и двумя выходами имеет вид:

.

II. Практическая часть

Порядок выполнения работы:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом.

2. Для заданной системы (по данным, полученным в лабораторной работе №2 для варианта лабораторной работы № 1):

- определить передаточную матрицу по состоянию и по выходу.

- Определить матрицы ИПФ по состоянию и по выходу.

3. Уменьшить порядок заданной системы на единицу. Определить для полученной системы второго порядка вектор состояния и его компоненты и , вектор выхода при нулевых начальных условиях и при ненулевых начальных условиях при подаче на вход ступенчатого воздействия .

4. В пакете MATLAB найти и освоить функции вычисления детерминанта, собственных значений, собственных векторов матрицы , матричной экспоненты, векторов состояния и выхода.