Методы представления системы в пространстве состояний

Существует несколько способов перехода к описанию в пространстве состояний. Различие способ связано с тем, коэффициенты какой матрицы В или выбираются для реализации правой части дифференциального уравнения системы, а также какая переменная или выбираются за основу описания системы.

2.1 Метод описания системы относительно .

Рассмотрим сначала способы представления системы через . Определим матрицу А, характеризующую собственное движение системы (без правой части), которая имеет форму Фробениуса. Воспользуемся полученным ранее описанием (1.8; 1.9), тогда

, где (2.1)

Для проведения дальнейших преобразований представим общий алгоритм получения выходного сигнала с учётом правой части. Изображение выходного сигнала имеет вид при нулевых начальных условиях: , где - присоединенная матрица, а соответствует характеристическому полиному заданной системы. Числитель соответствует числителю передаточной функции.

Если коэффициенты правой части ДУ будут выражены через коэффициенты матрицы , то матрицы В и будут иметь вид: . (2.2)

Если коэффициенты правой части ДУ будут выражены через коэффициенты матрицы В, то матрицы В и будут иметь вид: . (2.3)

Рассмотрим алгоритм получения для системы 3-его порядка:

;

Выразим правую часть дифференциального уравнения через матрицу выхода :

Т.о., окончательно имеем

(2.4)

Исходному уравнению (1.6) и описанию системы (2.4) можно представить структурную схему на рис. 1.3, где обозначены и соответствующие переменные состояния.

Рис.1.3 Структурная схема к описанию (2.4)

Рассмотрим алгоритм получения для системы 3-его порядка. Выразим правую часть ДУ через матрицу управления :

(2.5)

где величины находятся последовательно из системы уравнений (2.5), а начальные условия согласованы следующимобразом:

(2.6)

Т.о., окончательно имеем

(2.7)

Для исходного уравнения (1.6) и описания системы (2.7) получим структурную схему на рис. 1.4, где обозначены соответствующие переменные состояния.

Рис.1.4 Структурная схема к описанию (2.7).

Рассмотрим ещё один способ описания системы в пространстве состояний, в результате которого получим другую каноническую форму описания системы. Перепишем уравнение (1.6), полагая , тогда

.

Преобразуем выражение с учётом и получим:

(2.8)

Для полученного выражения можно получить структурную схему, которая представлена на рис. 1.5.

Рис. 1.5 Структурная схема к описанию (2.9).

Из уравнения (2.8) и рис. 1.5 получим следующие уравнения состояния:

(2.9)

Этим уравнениям соответствует каноническая наблюдаемая форма записи уравнений состояния.

В этой реализации, как и предыдущих, элементы матриц уравнений состояния получаются непосредственно из коэффициентов передаточной функции, а выход просто равен первой координате состояния.

2.2 Метод описания системы относительно .

(2.10)

Рис. 1.6 Структурная схема к описанию (2.10).

Заметим, что реализация в пространстве состояний при использовании этих методов получается без труда, но говорить о физической интерпретации переменных состояния достаточно сложно.

2.3 Метод разложения на простые сомножители

Рассмотрим уравнение (2.11)

Передаточная функция имеет вид:

(2.12)

Представим

Структурная схема, соответствующая функции (2.12), имеет вид (рис. 2.1).

Рис. 1.7. Структурная схема системы к писанию (2.12).

Рассмотрим метод на основе системы 4-го порядка:

Выход определяется выражением (2.13)

Структурная схема для описания (2.13) представлена на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Структурная схема системы к писанию (2.13).

2.4 Метод канонического разложения

На практике описание в пространстве состояний удобно проводить в канонической форме, при которой полюса характеристического полинома заданной системы в матрицы располагаются на главной диагонали . Представление системы в канонической форме позволяет сразу сделать вывод об основных свойствах системы при описании в пространстве состояний: управляемости и наблюдаемости системы. Метод канонического разложения основан на решении дифференциального уравнения системы в следующем виде:

, где - полюса характеристического полинома системы.

На основании преобразований Лапласа имеем:, , тогда

Коэффициенты могут быть определены методом неопределённых коэффициентов при разложении на простые дроби или аналитическим методом с учётом теоремы разложения в преобразованиях Лапласа, а именно, или .

Представим переменные в следующем виде , тогда .

Запишем систему дифференциальных уравнений в виде:

; ; (2.14)

В пункте 2.1 были введены два варианта представления описания в пространстве состояний: через коэффициенты матрицы иди .Аналогично получим результаты и для метода канонического разложения

· через коэффициенты матрицы :

; ; (2.15)

· через коэффициенты матрицы :

; ; (2.16)

На рис 1.9а представлена структурная схема к описанию (2.15) и на рис. 1.9б – к описанию (2.16).

а) б)

Рис. 1.9. Структурные схемы системы к описанию системы (2.15) и (2.16).