Лекция 4. Алгебраический критерий устойчивости А.Гурвица и частотный критерий устойчивости А.В.Михайлова

4.1 История задачи. В работах Д.К.Максвелла и И.А.Вышнеградского речь шла о САР, характеристические полиномы (многочлены) которых имели третью степень . Условия устойчивости (отсутствие корней в правой полуплоскости комплексной плоскости корней) могли быть получены из формулы Кардано (Girolamo Cardano, 1501 - 1576). В наиболее завершенной форме условия устойчивости (, , , , ) были сформулированы Вышнеградским, и поэтому стали называться условиями (критерием) Вышнеградского.

На заседании Лондонского математического общества в 1868 году Максвелл поставил задачу о разыскании условий для многочленов любой степени. Между тем эта задача фактически была решена еще в 1851 году французским математиком Ш.Эрмитом (Charles Hermite, 1822 - 1901). Однако результаты Эрмита не были доведены до практически удобных алгоритмов вычисления или формул и остались не известными специалистам, работающим в прикладных областях.

Задачу Максвелла решил в 1875 году английский математик и механик Э.Раус.

Эдвард Джон Раус (Routh Edward John, 20.01.1831 - 07.06.1907). Английский физик и математик. Занимался проблемами устойчивости. Указал удобный алгоритм (теорема Рауса, 1877), позволяющий для любого уравнения с помощью конечного числа простых арифметических действий найти необходимые и достаточные условия отрицательности действительных частей корней алгебраических уравнений любой ( -й) степени.

В конце 19 века А.Стодола, не зная работ Рауса, доказал необходимое условие устойчивости (положительность всех коэффициентов характеристического полинома) и поставил задачу об отыскании необходимых и достаточных условий перед выдающимся немецким (швейцарским) математиком А.Гурвицем (Adolf Hurwitz, 1859 - 1919).

Адольф Гурвиц (Adolf Hurwitz, 26.03.1859 – 18.11.1919) — выдающийся немецкий математик. В 1895 году опи­раясь на работы Эрмита (Charles Hermit, 1822 - 1901), дал (независимое от Рауса) второе решение задачи об отыскании необходимых и достаточных условий существования в алгебраическом уравнении любой ( -й) степени только корней с отрицательной вещественной частью в виде определенных нера­венств. Это решение получило всеобщую известность, а неравенства найденные Гурвицем стали называться неравенствами Гурвица (или Рауса—Гурвица).

Это решение получило всеобщую известность и условия, найденные Гурвицем, стали называться критерием Рауса-Гурвица. В память о А.Гурвице многочлены, имеющие корни только в левой полуплоскости, стали называться гурвициевыми многочленами.

В настоящее время известны также и другие алгебраические критерии (критерий Соколова, критерий Льенара-Шипара), которые имеют меньшее число неравенств и более удобны при практических применениях.

Алгебраические критерии устойчивости применяются обычно для полиномов до 5 степени включительно, для полиномов более высоких степеней применяются частотные критерии, наиболее известными из которых являются критерий А.В.Михайлова и критерий Г.Найквиста.