Лекция 12 . Основные законы и уравнения гидромеханики.

1. Основные законы гидромеханики.

Закон сохранения массы и интегральной, векторной и дифференциальной формах. Уравнение неразрывности потока.

2. Закон изменения количества движения жидкости в интегральной, векторной и дифференциальной формах. Основное уравнение движения жидкости в векторной форме.

Рассмотрим в интегральной форме основные законы гидромеханики: закон сохранения массы, закон изменения количества движения и закон изменения момента количества движения для пространственного потока вязкой сжимаемой жидкости.

Применим к рассматриваемому объёму подход Лагранжа.

Для этого рассмотрим в данном потоке подвижный деформируемый объём жидкости V(t), состоящий из одних и тех же частиц жидкости. Пусть площадью поверхности S(t), имеющий в каждой подвижной точке плотность ρ и скорость v. Движение этого объёма будем рассматривать в неподвижной системе координат. Здесь x, y, z – координаты неподвижных фиксированных точек пространства Эйлера.

Обозначим как ранее F, Р – главные векторы массовых и поверхностных сил, действующих на этот объём

Закон сохранения массы жидкости:

Пусть в объёме V(t) – отсутствуют какие либо источники массы и энергии. «В любом подвижном объёме V(t), состоящем из одних и тех же частиц, масса жидкости сохраняется». Масса элементарно частицы с объёмом dV равна:

dm = ρ dV.

Здесь ρ – плотность жидкости.

Масса всех частиц в объёме V(t) равна:

(4.1)

Так как объём V состоит из одних и тех же частиц

Отсюда следует

Закон сохранения массы для потока в интегральном виде:

(4.2)

Получим этот же закон в дифференциальной форме:

В векторном анализе доказывается, что для любой вектор – функции, заданной в подвижном объёме V(t) с известным полем скоростей потока

(4.3)

Здесь - вектор скорости,

- проекции вектора скорости υ на нормаль поверхности.

Возьмём вместо ƒ плотность ρ. Получим:

Учитывая соотношение (4.2) получим:

Так как V(t) – объём произвольный, то

(4.4)

Это уравнение есть закон сохранения массы для потока в дифференциальном виде.

Его называют ещё уравнением неразрывности или сплошности потока. Если жидкость несжимаемая, .

(4.5)

Отсюда из (4.4) получим

Или ρ =const или (4.6)

Условие не сжимаемости для жидкости и газа.

Условия сохранения массы для одномерного стационарного потока в алгебраическом виде.

Для стационарного потока масса жидкости, которая проходит через любое сечение канала за одно и то же время одна и та же.

Отсюда следует, что если S↓, то υ ↓

Вывод: «В узком сечении скорость всегда больше, а в широком – меньше».

2. Закон изменения количества движения жидкости для потока.

Закон изменения количества движения для частицы жидкости постоянной массой m записать в виде:

(4.9)

Здесь - главные векторы массовых и поверхностных сил.

Это соотношение называют уравнением движения частиц в векторной форме. По аналогии можно записать этот закон для подвижного объёма V(t) с массой M.

(4.10)

Это уравнение движения объёма жидкости в интегральной форме в самом общем виде. Здесь V(t) – подвижный деформируемый объём, состоящий из одних и тех же частиц среды. Перейдём от интегральной формы записи этого закона к его дифференциальной форме для любой точки подвижного объёма.

Так как то по теореме Гаусса – Остроградского:

(4.11)

Подставим это равенство в (4.10). Получим:

Можно показать, что

Действительно

M = const

Получим

Так как V(t) – произвольный объём, то интеграл от функции только тогда равен нулю, когда подинтегральная функция равна нулю. Отсюда

(4.12)

Это главное основное дифференциальное уравнение движения жидкости для произвольной фиксированной подвижной точки жидкости.

Основное уравнение гидростатики

Если жидкость неподвижна, то

(4.13)

Это основное уравнение гидростатики.

В векторной форме переход к переменной Эйлера.

Ускорение в точке (индивидуальная, субстанциональная, полная производная).

Локальная (местная) производная - конвективная.

Внимание! Здесь - ускорение производная подвижной точки жидкости, при условии, что - скорость задана в произвольной, одной и той де точки пространства переменных Эйлера.

Тогда

Ускорение в точке жидкости.