Условия существования экстремума

Запишем без доказательства теоремы:

Теорема 1.

Если для непрерывной и дифференцируемой на некотором отрезке функции выполняется неравенство: , то эта функция возрастает на интервале .

Теорема 2.

Если для непрерывной и дифференцируемой на некотором отрезке функции выполняется неравенство: , то эта функция убывает на интервале .

1. Необходимое условие существования экстремума.

Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то производная этой функции в данной точке равна нулю: .

2. Достаточное условие существования экстремума.

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем , и производная этой функции при переходе через данную точку меняет знак, то точка является точкой экстремума функции .

Согласно теоремам 1; 2 можем записать:

Если производная меняет знак с плюса на минус, то точка экстремума – точка максимума.

Если производная меняет знак с минуса на плюс, то точка экстремума – точка минимума.