Лекция 1

ЛЕКЦИИ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ МЭС; МТС, 1-Й СЕМЕСТР

(32 ЧАСА)

ЛЕКЦИЯ 1

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

1.1 Понятие числовой оси

Числовой осью называется прямая линия, на которой заданы:

начало (обозначается О);

направление (обозначается стрелкой);

масштабная единица.

..

О 1 x

Ox – числовая ось.

Всякому действительному числу соответствует единственная точка числовой оси, всякой точке числовой оси соответствует единственное действительное число. При этом данное действительное число называется координатой соответствующей ему точки числовой оси.

Пример. Построить точки:

Решение

....

0 x

1.2 Декартова прямоугольная система координат на плоскости

Декартовой прямоугольной системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющих общее начало. Обозначается: . Всякой точке плоскости соответствует упорядоченная пара чисел . Эта пара чисел называется координатами данной точки на плоскости.

Пример. Построить точки:

Решение

y

. 3

.

O 2 3 x

.

1.3 Декартова прямоугольная система координат в пространстве

Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность трех взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющих общее начало. Обозначается: . Всякой точке трехмерного пространства соответствует упорядоченная тройка чисел . Эта тройка чисел называется координатами данной точки в пространстве.

Пример. Построить точку .

Решение

z

M

0 y

.

x

1.4 Расстояние между двумя точками

Рассмотрим на плоскости две точки: и . Расстоянием между этими точками является отрезок прямой, соединяющей эти точки. Найдем длину этого отрезка, применив теорему Пифагора. Перед нами треугольник, катетами которого являются отрезки, длины которых соответственно равны:

и , а гипотенузой является искомый отрезок . Следовательно, можем записать:

(1.1)

Таким образом, расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответственных координат этих точек.

y

O x

Согласно записанному положению, формула (1.1) для точек и , заданных в пространстве имеет вид:

(1.2)

1.5 Деление отрезка в заданном отношении

Рассмотрим на плоскости две точки: и . Найдем координаты точки , делящей отрезок в отношении , т.е. .

y

y M

O x x

Согласно теореме о пропорциональности длин отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла, можем записать:

. Откуда следует, что . Преобразуя последнее выражение, получим:

.

Найдем из последнего равенства х:

.

По той же теореме о пропорциональности длин отрезков находим y:

.

Если отрезок задан в пространстве, то координата z равна:

.

Таким образом, координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении равны:

(1.3)

Если точка М делит отрезок пополам, т.е. , а значит, , формулы (1.3) примут вид:

(1.4)

Следовательно:

Координаты точки, делящей отрезок пополам, равны полу суммам соответственных координат концов этого отрезка.

1.6 Полярная и цилиндрическая системы координат

1. Полярная система координат.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Полярным лучом называется подвижный луч, начало которого совпадает с началом координат, т.е. с точкой О(0; 0), а направление совпадает с положительным направлением оси Ох. Можно считать, что начальное положение полярного луча - это положительная полуось Ох. Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у). Повернем полярный луч до совпадения с этой точкой, угол образованный при этом полярным лучом с положительным направлением оси Ох, обозначим: , а расстояние точки М(х; у) от начала координат обозначим: .

М(х; у)

х

Полярный луч и угол его поворота образуют полярную систему координат на плоскости.

Упорядоченная пара чисел называется полярными координатами точки М.

Таким образом, в полярных координатах запишем: .

Из рисунка очевидна связь между декартовыми и полярными координатами:

(1.5)

(1.6)

Пример.

Найти полярное уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом .

Решение.

Уравнение заданной окружности:

.

Применяя формулу (1.5), получим:

Таким образом, полярное уравнение окружности:

1. Цилиндрические координаты точки в пространстве.

Цилиндрическими координатами точки М в пространстве называется упорядоченная тройка чисел: , при этом:

(1.7)