Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
ЗАНЯТИЕ 14. Неоднородные системы уравнений. Общее решение систем уравнений с использованием теоремы Кронекера-Капелли.
|
|
☺ ☻ ☺
Практическое использование теоремы Кронекера–Капелли при решении произвольной системы уравнений. Общая схема решения:
A 1 *: Вычисляем ранги: 
и 
для матриц 
и 
. Если: 
, то система решений не имеет. Пусть = = 
. Это значит, что определился общий для матриц и базовый минор: M . На этот минор будем ссылаться при построении общей схемы решения системы.
Замечание: в случае, когда система не имеет решений, учащийся доволен: задание уже выполнено; для специалиста возникшая ситуация сигналит о том, что наблюдение за процессом было некорректным при создании конкретного уравнения-модели и его нельзя учитывать!
A 2 *: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.
Замечание: помня, что каждое уравнение системы имеет для специалиста особый смысл, стремятся так реализовать алгоритм выделения базового минора, чтобы наиболее интересные для специалиста уравнения попали в базовый минор!
A 3 *: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть.
Замечание: процесс объявления некоторых неизвестных свободными для специалиста не является случайным: это варьируемые параметры процесса, при помощи которых можно выделять наиболее желательные реализации процесса!
A 4 *: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A 5 *: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
Замечание: отметим ещё раз, что свободных неизвестных 
: их можно воспринимать как число степеней свободы процесса; вычисляемых неизвестных – .
••• ≡ •••
Пример 14 – 1: Исследовать систему уравнений: 
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицы: = 
, 
= 
.
2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что 
. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы :
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: 
, где 
– указывает номер отмеченной для окаймления строки, 
– указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
= 
=4· 
–8· 
+12· 
= m 1· (5) – h 1· (4) + g 1· (1) =4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам 
, 
, числа: (5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (5) – h 2· (4) + g 2· (1) = 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;
= 
= m 3· (5) – h 3· (4) + g 3· (1) = 3·(5)–7·(4)+13·(1) =0.
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то = =2. Это значит – система совместна.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем 
и 
:
далее применяем правило Крамера:
=1; 
= 
= 
; 
= 
=1.
6). Общее решение системы: 
= 
= ; 
= 
=1; частное решение получим при значениях: =–1, =1, → =0, =1.
Ответ: общее решение: = = ; = =1; частное решение: (–1, 1, 0, 1).
Пример 14 – 2: Исследовать систему уравнений: 
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицы: = 
, = 
.
2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы :
| -2 | |||||
| -4 | |||||
| -6 | |||||
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
= 
=(–2)· 
–(–4)· 
+(–6)· 
= m 1· (–1) – h 1· (–2) + g 1· (–1) =
= (–2)·(–1)–(–4)·(–2)+(–6)·(–1)=0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам , , числа: (–1), (–2), (–1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (–1) – h 2· (–2) + g 2· (–1) =3·(–1)–6·(–2)+9·(–1)=0;
= 
= m 3· (–1) – h 3· (–2) + g 3· (–1) = 2·(–1)–3·(–2)+4·(–1)=0.
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то = =2. Это значит – система совместна.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :
далее применяем правило Крамера:
=–1; = 
= 
; = 
= 
.
6). Общее решение системы = = 
, = = 
, частное решение получим при значениях: = =1, → =1, =–1.
Ответ: общее решение системы = = , = = ; частное: (1, 1, 1, –1).
Пример 14 – 3: Исследовать систему: 
Найти общее и частное решение.
Решение:
1). Составим матрицы: = 
, = 
.
2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы :
| -1 | ||||||
| -3 | ||||||
| -3 | ||||||
| -2 | ||||||
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца.
Замечание: догадываемся, что после вычисления не нужно переходить к вычислению миноров , , 
, а вычислить раньше минор 
.
= 
=4· 
–8· 
+13· 
= m 1· (–2) – h 1· (–1) + g 1· (0) =
=4·(–2)–8·(–1)+13·(0)=0.
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минору , числа: (–2), (–1), (0) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (–2) – h 2· (–1) + g 2· (0) =1·(–2)–1·(–1)+2·(0) = –1≠ 0.
4). Интуиция сработала! Так как ≠ 0, то теперь будем окаймлять этот минор и вычислять окаймляющие миноры. Для удобства поменяем местами строки 3 и 4:
| -1 | ||||||
| -3 | ||||||
| -2 | ||||||
| -3 | ||||||
= 
=(–1)· 
–(–3)· 
+(–2)· – (–3)· ,
или: = m 1· (–6) – h 1· (–1) + g 1· (0) – q 1· (–1) =(–1)·(–6)–(–3)·(–1)+(–2)·(0)–(–3)·(–1) =0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам , , числа: (–12), (14), (0), (–2) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (–6) – h 2· (–1) + g 2· (0) – q 2· (–1) = 2·(–6)–6·(–1)+4·(0)–6·(–1) =0;
= 
= m 3· (–6) – h 3· (–1) + g 3· (0) – q 3· (–1) = 2·(–6)–3·(–1)+1·(0)–9·(–1) =0.
5). Следует: = 3. Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :
далее применяем правило Крамера, учитывая, что определитель системы равен =–1:
= 
= 
= 
;
= 
= 
=0;
= 
= 
=– 
.
6). Общее решение системы: = = ; = =0; 
= 
= 
; частное решение получим при значениях: =1, =2, → =–1, =0, =1.
Ответ: общее решение: = = ; = =0; = = ; частное: (1, 2, –1, 0, 1).
Пример 14 – 4: Исследовать систему уравнений: 
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицы: = 
, = 
.
2). Найдем ранги матриц и . Начнём с матрицы системы . Не равных нулю миноров 2-го порядка несколько. Это значит, что . Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в левом верхнем углу матрицы :
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
= 
= 3 
–2 
+1 
= m 1· (–33) – h 1· (–55) + g 1· (–11) =
=3·(–33)–2·(–55)+1·(–11) =0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам , , числа: (–33), (–55), (–11) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= 
= m 2· (–33) – h 2· (–55) + g 2· (–11) = 1·(–33) –2·(–55)+7·(–11)=0;
= 
= m 3· (–33) – h 3· (–55) + g 3· (–11) = 6·(–33) –4·(–55)+2·(–11) =0.
4). Следует: ранг матрицы : =2. Так как = =2, то система совместна.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и : 
далее применяем правило Крамера:
= – 11; = 
= 
; = 
= 
.
6). Запишем общее решение системы = 
; = 
. Частное решение системы получим при значениях: =0, = 1 → = –1, = 1.
Ответ: общее решение системы = , = ; частное решение: (–1, 1, 0, 1).
☻
Вопросы для самопроверки:
1. Как практически применяется теорема Кронекера-Капелли при решении системы линейных уравнений?
2. Можно ли провести полное исследование системы уравнений без использования теоремы Кронекера-Капелли?
3. Может ли ранг расширенной матрицы быть равным 7, а ранг А -матрицы 8? а наоборот?
4. Могут ли ранги матриц А и равняться нулю?
Задачи для самоподготовки:
Пример C14 – 1: Исследовать совместность и найти общее решение системы линейных уравнений в зависимости от значения параметра 
: 
Ответ: система имеет бесчисленное множество решений, если –1 = 0; если –1≠ 0, система имеет решение: = = = 
, откуда следует: если –2≠ 0, и не имеет решения при –2 = 0.
Пример C14 – 2: Исследовать систему уравнений: 
Найти общее решение и одно частное.
Ответ: система несовместна → решений нет.
Пример C14 – 3: Исследовать совместность системы уравнений: 
Найти общее решение этой системы.
Ответ: x 1 = 
x 4 + 
; x 2 = 
; x 3 = – x 4 – 
.
< * * * * * >
ЗАНЯТИЕ 15. Однородные системы уравнений. Общее решение системы уравнений, Фундаментальная система решений. Связь решения неоднородной системы уравнений и соответствующей ей однородной системы.
☺ ☻ ☺
Как и в общем случае исследования системы неоднородных линейных уравнений, использование теоремы Кронекера–Капелли в частном случае исследования системы линейных однородных уравнений также плодотворно. Общая схема решения:
A 1 *: Вычисляем ранг: матрицы системы.Так как для однородной системы уравнений = , то всегда выполняется . Однородная система уравнений всегда совместна. Пусть = . Это значит, что определён базовый минор M матрицы системы.
A 2 *: В системе уравнений оставляем только те уравнения-строки, которые попали в базовый минор: остальные являются следствием выделенных.
A 3 *: В левой части каждого из оставшихся для дальнейшего решения уравнений оставляем те столбцов с неизвестными, которые попали в базовый минор: остальные неизвестные объявляем свободными и соответствующие столбцы с ними переносим в правую часть.
A 4 *: Находим решения преобразованной системы уравнений, применяя формулы Крамера: определитель преобразованной системы не равен нулю!
A 5 *: Полученное решение системы называют общим: вычисленные по формулам Крамера неизвестные выражаются через свободные неизвестные. Присваивая свободным неизвестным произвольные значения, получаем частные решения.
Замечание: отметим, что свободных неизвестных : их можно воспринимать как число степеней свободы процесса; вычисляемых неизвестных – .
••• ≡ •••
Пример 15 – 1: Исследовать систему уравнений: 
Найти общее решение и одно частное.
Решение:
1). Составим матрицу: = и найдём её ранг. Выделим для окаймления минор (не равен нулю), расположенный в правом верхнем углу матрицы:
3). Окаймляющие миноры будем обозначать: , где – указывает номер отмеченной для окаймления строки, – указывает номер отмеченного для окаймления столбца. Тогда можем записать:
= =4· –8· +12· = m 1· (5) – h 1· (4) + g 1· (1) =
=4·(5)–8·(4)+12·(1) =0;
Замечание: параметры: m 1, h 1, g 1 изменяются при переходе к минорам , , числа: (5), (4), (1) не изменяются. Это позволяет применить единый шаблон вычислений!
= = m 2· (5) – h 2· (4) + g 2· (1) = 3·(5)–6·(4)+9·(1) =0;
4). Так как все миноры 3-го порядка оказались равными нулю, то =2.
5). Учитывая расположение не равного нулю минора, 3-е уравнение отбрасываем и свободными неизвестными объявляем и :
далее применяем правило Крамера:
=1; = 
= 
; = 
=0.
6). Общее решение системы: = = ; = =0; частное решение получим при значениях: =1, =–1, → =1, =0.
Ответ: общее решение: = = ; = =0; частное решение: (1, –1, 1, 0).
Пример 15 – 2: Исследовать систему уравнений: 
Найти общее и частное решение.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
| -3 | -1 | -1 | -1 | |||||||
| -2 | -3 | -1 | ||||||||
| -1 | -5 | =(1)→ | -1 | =(2)→ | ||||||
| -3 | -8 | -1 | -7 |
| -1 | -1 | -7 | ||||||||
| -2 | ||||||||||
| -2 | =(3)→ | =(4)→ | ||||||||
| -9 | -9 |
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R1]–[R2]; [R2]–[R3]; [R3]–[R4]. (2): [R2]–[R1]; [R3]–[R1]; [R4]–[R1]. (3): [R3]–[R1]; [R2] делим на (–2); [R1]–[R2]; [R1]–[R4]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =3. Свободной неизвестной объявляем = 
.
3). Из уравнения-строки [R4] запишем: =9 ; из строки [R2]: =0; [R4] запишем: =7 . Произвольная величина определяет бесчисленное множество решений заданного уравнения.
Ответ: общее решение: (7 ; 9 ; 0; )= (7, 9, 0; 1).
Пример 15 – 3: Найти общее решение системы уравнений: 
и фундаментальную систему решений.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
| -1 | -3 | |||||||||||
| =(1)→ | -2 | -6 | =(2)→ | |||||||||
| -1 |
| -1 | -3 | -1 | -3 | |||||||||
| =(3)→ | =(4)→ | |||||||||||
Выполнены операции: (1): [R4]–[R1]; [R2]–[R1]·2; [R3]–[R1]·3. (2): [R3]–[R2]·2; [R4]–[R2]. (3): [R1]–[R2]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =2. Пусть , , свободные неизвестные. Раскрываем таблицу:
3) Применяем правило Крамера:
= 4; = 
= 
; = 
= 
.
4). Общее решение системы: x 4 = 
; x 5 = 
.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | |
| α 1 | -3 | ||||
| α 2 | -2 | ||||
| α 3 | -4 |
Векторы-решения 
, 
, 
линейно независимы, их количество 
=3. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
Ответ: общее решение: x 4 = ; x 5 = ;
ФСР: = (4, 0, 0, 9, –3); = (0, 4, 0, 6, –2); = (0, 0, 4, 8, –4).
Пример 15 – 4: Найти общее решение системы уравнений: 
и фундаментальную систему решений.
Решение:
1). Применим пошаговый процесс метода Гаусса:
| -1 | -1 | ||||||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||
| -1 | -1 | =(1)→ | -1 | -1 | =(2)→ | ||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||
| -1 | -1 |
| -1 | -1 | ||||||||||||
| -1 | -1 | ||||||||||||
| -1 | =(3)→ | -1 | =(4)→ | ||||||||||
| -1 | |||||||||||||
| -1 |
Выполнены операции: (1): [R3]–[R1]; [R5]–[R1]. (2): [R3]+[R2]; [R4]–[R2]. (3): [R4]+[R3]; [R5]–[R3]. (4): раскрываем полученный результат.
2). Видим: =3. Свободными неизвестными объявляем , , 
.
3). Из уравнения [R3] следует: = . Далее из уравнения [R2]: = – ; из уравнения [R1]: = – . Получено общее решение: как и в случае неоднородной системы уравнений.
5). Построим ФСР (фундаментальную систему решений), избегая дробей:
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 | x 6 | |
| α 1 | ||||||
| α 2 | -1 | |||||
| α 3 | -1 |
Векторы-решения , , линейно независимы, их количество =3. Эти векторы могут быть приняты в качестве ФСР.
Ответ: общее решение = – , = – ; = .
ФСР: = (1, 1, 1, 1, 0, 0);