ЗАНЯТИЕ 10. Линейные операции с матрицами: умножение на число и сложение матриц. Произведение матриц. Вырожденные матрицы. Определитель произведения квадратных матриц.

☺ ☻ ☺

Пример 10 – 1: Вычислить сумму матриц: , .

Решение:

1). Так как матрицы и имеют одинаковую размерность, то операция сложения заданных матриц выполнима.

2). Вычислим: = + = + = = .

Ответ: = .

Пример 10 – 2: Заданы матрицы: = , = . Вычислить линейную комбинацию матриц .

Решение:

1). Так как матрицы и имеют одинаковую размерность, то операция выполнима.

2). По определению умножения матрицы на число: 3 = ; 2 = .

2). Применим правило сложения матриц: = .

Ответ: = .

Пример 10 – 3: Вычислить произведение матриц: C = AB = .

Решение:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A и B:

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над матрицей A размещаем первый столбец матрицы B;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей A размещаем второй столбец матрицы B.

Столбец			Столбец	Столбец			Столбец
		-2				-2
		-4				-4

Использование технологического шаблона в виде таблицы позволит отработать алгоритм вычисления произведения матриц и защитить от ошибок в вычислениях. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C: = , = .

Ответ: C = .

Пример 10 – 4: Вычислить произведение матриц: C = AB = .

Решение:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц A и B:

▫ для вычисления столбца-1 матрицы C над A матрицей размещаем первый столбец матрицы B;

▫ для вычисления столбца-2 матрицы C над матрицей A размещаем второй столбец матрицы B;

▫ для вычисления столбца-3 матрицы C над матрицей A размещаем третий столбец матрицы B;

Столбец				Столбец	Столбец				Столбец	Столбец				Столбец
		-3					-3					-3		-5
		-4					-4					-4
		-5					-5					-5		-7

Из таблицы видим ответ. Проследим вычисление столбца-1 матрицы C:

= , = , = .

Ответ: = .

Пример 10 – 5: Вычислить матрицу: C = Аⁿ = = AAA… = ….

Решение:

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц AA=T.

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц C = TA.

Анализируя полученные результаты, видим закономерность: C = = . Для её доказательства применим метод математической индукции: будем считать, что утверждение C – верно. Тогда вычислим выражение D = = · :

В таблице представлена схема вычисления произведения матриц D = CA. с учётом принятого допущения о верности C.

Столбец	λ		Столбец	Столбец		λ	Столбец
	λ n	n· λ n- 1	λ n+1		λ n	n· λ n- 1	(n+1)·λ n
		λ n				λ n	λ n

Видим, что утверждение: D = = верно. Это значит, полученная формула: = - верна!

Ответ: C = .

☻

Вопросы для самопроверки:

1. Можно ли сложить матрицу с размерами (2х3) с матрицей с размерами (3х2)?

2. Можно ли умножить матрицу с размерами (2х3) на матрицу с размерами (2х3)?

3. Можно ли из одной матрицы вычесть другую? Каким условиям должны удовлетворять при этом матрицы? Какие размеры имеет матрица, являющаяся результатом этой операции?

4. Можно ли умножить матрицу A на матрицу A, если ?

5. Назовите свойства операции сложения матриц. Попробуйте их доказать.

6. Назовите свойства операции умножения матрицы на число. Попробуйте их доказать.

7. Назовите свойства операции умножения матриц. Попробуйте их доказать. Почему операция перемножения матриц не коммутативна?

Задачи для самоподготовки:

Пример C10 – 1: Пусть заданы матрицы: = и = . Вычислить: = + .

Ответ: операция сложения заданных матриц невыполнима.

Пример C10 – 2: Вычислить произведение матриц: C = AB = .

Ответ: C = .

Пример C10 – 3: Доказать, что если матрицы A и B – квадратные, причём ≠ , то всегда справедливы утверждения: а) ;

б) .

Ответ: доказывается использованием свойств операций с матрицами.

< * * * * * >