Если обозначить

, , (7.16)

, (7.17)

то (7.15) запишется в виде

.

Сравнивая (7.13) и (7.16), (7.10) и (7.17), замечаем, что

, .

Завершает доказательство цепочка рассуждений:

{ – центр симметрии Ф} { – центр симметрии Ф}

{ } { }.◄

Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .

Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.

Пример. Определить видповерхности второго порядка

,

приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.

▼ 1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (7.14):

Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .

2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.

; ,

; .

Записываем каноническое уравнение поверхности:

или

и видим, что это однополостный гиперболоид.

Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:

; ; .

Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 7.2). ▲