Некоторые свойства матрицы Грама

Теорема 6.5. Определитель матрицы Грама произвольной системы векторов

(6.14)

евклидова пространства есть число неотрицательное. При этом он равен нулю в том и только в том случае, когда система (6.14) линейно зависима.

► Обозначим . На основании теоремы 3.5, – подпространство пространства . Если , то . Выберем в какой-либо ортонормированный базис

, (6.15)

каждый из векторов системы (6.14) разложим по этому базису () и обозначим, как обычно, – координатный столбец вектора в базисе (6.15), а – матрицу, составленную из координатных столбцов векторов . Если – матрица Грама системы (6.14), то

=

. (6.16)

Тогда

{(6.14) линейно независима} [теорема 3.5 и § 3 гл. 3]

[(6.16)] { };

{(6.14) линейно зависима}

{ }.◄

Следствие. Пусть . Тогда

Таким образом, мы получили еще одно доказательство неравенства Коши – Буняковского. Из этого доказательства очень хорошо видно, что в неравенстве Коши – Буняковского знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Отметим еще одно интересное свойство матрицы Грама. Выберем в трехмерном евклидовом пространстве два неколлинеарных вектора и и обозначим угол между ними. Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, находится так:

.