Ортогональные системы векторов

Определения. Векторы и евклидова пространства называются ортогональными или перпендикулярными, если их скалярное произведение равно 0.

Система векторов называется ортогональной, если ее векторы попарно ортогональны, т. е. если при

Ортогональная система называется ортонормированной, если все ее векторы имеют единичную длину.

Замечание. Несмотря на то, что понятие угла между векторами в комплексном евклидовом пространстве не вводится, ортогональность векторов определяется как в действительном евклидовом пространстве, так и в комплексном.

На основании следствий из аксиом § 1, нулевой вектор ортогонален всем векторам евклидова пространства. Верно и обратное утверждение.

Лемма 6.1. Если вектор ортогонален всем векторам пространства , то он нулевой.

► Пусть Положим Тогда , откуда и вытекает, что .◄

Теорема 6.3. Ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства линейно независима.

► Пусть задана ортогональная система

(6.4)

ненулевых векторов. Для доказательства линейной независимости, как обычно, составляем линейную комбинацию этой системы и приравниваем ее :

. (6.5)

Умножим скалярно (6.5) справа на , . Получаем

. (6.6)

Система (6.4) ортогональна, поэтому в левой части (6.6) остается только одно слагаемое, т. е. (6.6) принимает вид . Так как все векторы системы ненулевые, это равенство можно разделить на , откуда и получаем, что . Таким образом, система (6.5) линейно независима◄.