Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Свойства обратных матриц






 

1°. Если матрица А имеет обратную, то А –1 тоже имеет обратную, причем (А –1)–1 = А.

2°. Если матрица А имеет обратную и , то матрица α А также имеет обратную, причем (α А)–1 = (1/α) А –1.

3°. Если матрица А имеет обратную, то также имеет обратную, причем .

4°. Если матрицы А и В одного порядка и имеют обратные, то имеет обратную и их произведение, причем (АВ)–1 = В –1 А –1.

► Докажем 1-е и 4-е свойства.

Обозначим В = А –1 и покажем, что А является обратной к В. Для этого проверим выполнение равенства (1.18): ВА = А –1 А = Е; АВ = АА –1 = Е.

Теперь покажем, что В –1 А –1 является обратной к С = АВ:

С (В –1 А –1) = (АВ)(В –1 А –1) = А (ВВ –1) А –1 = АЕА –1 = АА –1 = Е;

(В –1 А 1) С = (В –1 А –1 )(АВ) = В –1(А –1 А) В = В –1 В = Е

(везде используется ассоциативность произведения матриц).◄

Остальные свойства вы без труда докажете самостоятельно.

Лемма 1.6 (необходимое условие существования обратной). Если квадратная матрица А имеет обратную, то А – невырожденная матрица.

► На основании свойства 8° § 6 из (1.18) вытекает:

,

значит, . ◄

Теорема 1.6 (существования и единственности). Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная ей обратная

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

Существование. Пусть . Покажем, что записанная матрица действительно обратная к А. Обозначим – элементы матрицы , , а обозначим матрицу . Тогда

= [теорема аннулирования для строк] = .

Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, приведенная выше матрица удовлетворяет определению обратной к А.

Единственность. Предположим, что некоторая невырожденная квадратная матрица А имеет две разные обратные матрицы: и . Тогда

.◄

Замечание. Мы не только доказали для невырожденной матрицы существование обратной, но даже показали, какая конкретно матрица является обратной данной. Такое доказательство называется конструктивным.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.