Метод інтегрування заміною змінних

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫ f(x)dx зробити підстановку x = φ (t), тоді має місце рівність:

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба, щоб функція х — φ (t) мала обернену t = ψ (х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв'язування. Зробимо підстановку , тоді

Отже, одержимо

Із рівності одержимо

Отже,

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце рівність:

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай тоді .

Метод інтегрування частинами

Докладніше: Інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, і хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто .

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє звести пошук інтеграла до пошуку інтеграла . Якщо вдало обрати u та dv, інтеграл може бути табличним або простішим, ніж початковий інтеграл

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай . Тоді v = x

За формулою інтегрування частинами одержимо