Группа Лоренца

Рассмотрим пространство Минковского

с введенным в нем скалярным произведением

и выберем в этом пространстве следующий базис:

. (9.2)

Матрица Грама этого базиса имеет вид

.

Очевидно, , где и – координатные столбцы векторов и соответственно в базисе (9.2).

Определение.Преобразованием Лоренца называется линейный оператор , сохраняющий скалярное произведение, т. е. такой, что

Лемма. Для того, чтобы линейный оператор был преобразованием Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы его матрица А в базисе (9.2) удовлетворяла условию

. (9.3)

Доказательство леммы вы можете провести самостоятельно в качестве упражнения.

Следствие. Преобразование Лоренца – невырожденный линейный оператор.

► Из (9.3) следует, что . Таким образом, матрица преобразования Лоренца невырождена, а значит, и само преобразование невырождено.◄

В качестве примера преобразования Лоренца можно взять преобразование со следующей матрицей в базисе (9.1):

.

Теорема. Множество всех преобразований Лоренца является группой относительно операции умножения линейных операторов.

► Обозначим L – множество всех преобразований Лоренца. Тогда :

и, таким образом, замкнуто относительно операции умножения.

Ассоциативность операции произведения любых отображений была доказана в § 1 гл. 4. Если e – тождественный оператор, то очевидно, что . Кроме того, любой лоренцов оператор является невырожденным, поэтому . Покажем, что и . Действительно,

,

откуда и вытекает, что .

Таким образом, множество удовлетворяет всем условиям из определения группы. ◄

Группа всех преобразований Лоренца и называется группой Лоренца.

ЛИТЕРАТУРА

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра / Учебник. М.: Наука, 1984.

Беклемишев Д.В. / Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебное пособие. М.: Наука, 1980

Шикин Е.В. / Линейные пространства и отображения: Учебное пособие. М.: МГУ, 1987

Милованов М.В., Тышкевич Р.И., Феденко А.С. / Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Минск. Вышэйшая школа, 1963.

Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. / Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Под ред. Воднева В.Т. Учебное пособие. Минск: Вышэйшая школа, 1986

Русак В., Шлома Л., Ахраменка В., Крачкоускi А. Кypс вышэйшай матэматыкi. Алгебра i геаметрыя, аналiз функцый адной зменнай: Падручнiк. Мн.: Вышэйшая школа, 1994

Мак-Коннел А.Дж. / Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М., Физматгиз, 1963.

Рашевский П.К. / Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1987.

Акивис М.А., Гольдберг В.В. / Тензорное исчисление. М., Наука, 1972.