Решение. а)Составляем расширенную матрицу системы: .

а) Составляем расширенную матрицу системы: .

Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:

По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:

В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем x ₁ и x ₂, что допустимо, поскольку соответствующие им коэффициенты в расширенной матрице ступенчатого вида без нулевых строк образуют диагональную матрицу, определитель которой отличен от нуля.

Базисные неизвестные оставим в левой части уравнений, а свободную неизвестную x ₃ в качестве параметра переносим в правую часть уравнений:

Выполняем обратный ход метода Гаусса: найдем общее решение системы последовательным вычислением значений базисных неизвестных путем перехода от нижнего уравнения к верхнему.

Из второго уравнения определяется x ₂ = 1 − x ₃ / 2. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x ₁ = 1+ 2 x ₃ + 2 ∙ (1− x ₃ / 2) = 3 + x ₃.

Чтобы подчеркнуть, что x ₃ как параметр может принимать любые числовые значения, а также чтобы избавиться в ответе от дробей, переобозначим свободную неизвестную: x ₃ = 2 С, где С – произвольная константа.

С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца X = = .

Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x ₃= 0 и, следовательно, С = 0):

X ₀ = .

Ответ: общее решение системы x ₁ = 3 + 2 С, x ₂ = 1 − С, x ₃ = 2 С;

базисное решение системы x ₁ = 3, x ₂ = 1, x ₃= 0.

б) Составляем расширенную матрицу системы: .

Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:

~ ~ .

По полученной расширенной матрице ступенчатого вида системы запишем систему уравнений, равносильную исходной:

В полученной системе 2 уравнения и 3 неизвестных, следовательно, в исходной системе 2 базисных неизвестных и одна свободная. В качестве базисных неизвестных возьмем x ₁ и x ₂, что допустимо, поскольку соответствующие им коэффициенты в расширенной матрице ступенчатого вида без нулевых строк образуют диагональную матрицу, определитель которой отличен от нуля.

Базисные неизвестные оставим в левой части уравнений, а свободную неизвестную x ₃ в качестве параметра переносим в правую часть уравнений:

Выполняем обратный ход метода Гаусса: найдем общее решение системы последовательным вычислением значений базисных неизвестных путем перехода от нижнего уравнения к верхнему.

Из второго уравнения определяется x ₂ = x ₃ / 3. Подставляя это значение в первое уравнение, получим x ₁= x ₃+ 4 x ₃ / 3 = 7 x ₃ / 3.

Чтобы подчеркнуть, что x ₃ как параметр может принимать любые числовые значения, а также чтобы избавиться в ответе от дробей, переобозначим свободную неизвестную: x ₃ = 3 С, где С – произвольная константа.

С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца

X = = = C∙ .

Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x ₃= 0 и, следовательно, С = 0):

X ₀ = .

Ответ: общее решение системы: x ₁ = 7 С, x ₂ = С, x ₃ = 3 С;

базисное решение системы: x ₁ = 0, x ₂ = 0, x ₃= 0.

в) Составляем расширенную матрицу системы: .

Выполняем прямой ход метода Гаусса: элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приводим ее к ступенчатому виду:

~ .

Согласно полученной расширенной матрице исходная система сводится к единственному уравнению

2 ∙ x ₁ − x ₂ − 3 ∙ x ₃= − 1.

Поскольку в полученном единственном уравнении 3 неизвестных, то в исходной системе одна базисная неизвестная и 2 свободные. В качестве базисной неизвестной выбираем x ₁.

Базисную неизвестную оставим в левой части уравнений, а свободные неизвестные x ₂ и x ₃ в качестве параметров переносим в правую часть уравнения:

2 ∙ x ₁= − 1 + x ₂ + 3∙ x ₃, откуда x ₁ = − 1/ 2 + x ₂ / 2+ 3 ∙ x ₃/ 2.

Запишем общее решение системы, переобозначив свободные неизвестные: x ₂ = 2∙ С ₁, x ₃ = 2 ∙ С ₂, где С ₁ и С ₂ – произвольные константы:

x ₁ = − 1/ 2 + С ₁ + 3 ∙ С ₂.

С учетом произведенной замены запишем общее решение в виде вектора-столбца

X = = .

Запишем базисное решение, получаемое при равенстве всех свободных неизвестных нулю (в нашем случае x ₂ = 0, x ₃ = 0 и, следовательно, С ₁= С ₂ = 0):

X ₀ = .

Ответ: общее решение системы x ₁ = − 0, 5 + С ₁ + 3 С ₂; x ₂ =2 С ₁; x ₃= 2 С ₂;

базисное решение системы x ₁ = − 0, 5; x ₂ = 0; x ₃ = 0.

Примечание: если исходнаясистема в задании 3в имела бы, например, вид то получится соответствующая этой системе расширенная матрица ступенчатого вида: . Следовательно, для такой системы ранг основной матрицы (rang A = 1) не равен рангу расширенной матрицы (rang(A | B) = 2), и поэтому она несовместна, т.е. решений не имеет.