Системы линейных алгебраических уравнений

1. Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными –

a ₁₁ ∙ x ₁ + a ₁₂ ∙ x ₂ + … + a _{1 n}∙ x_n = b ₁,

a ₂₁ ∙ x ₁ + a ₂₂ ∙ x ₂ + … + a _{2 n}∙ x_n = b ₂,

………………………………………

a_{m 1} ∙ x ₁ + a_{m 2} ∙ x ₂ +…+ a_mn∙ x_n = b_m,

где x ₁, x ₂, …, x_n – неизвестные, a_ij (i = , j = ) – числовые коэффициенты при неизвестных, числа в правой части системы b_i (i = ) – свободные члены системы; отсутствие каких-либо неизвестных в уравнении равносильно наличию нулевых коэффициентов при этих неизвестных.

2. Основная матрица системы линейных уравнений – матрица коэффициентов при неизвестных в системеуравнений:

А = ,

строки матрицы соответствуют уравнениям системы, столбцы – неизвестным.

3. Расширенная матрица системы линейных уравнений – матрица вида

(А | B) = .

4. Ранг основной матрицы системы – число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной основной матрицы системы А.

5. Ранг расширенной матрицы системы – число ненулевых строк в матрице ступенчатого вида, эквивалентной расширенной матрицы системы (А | B).

6. Матричная форма записи системы линейных уравнений: A ∙ X = B, где матрица – вектор-столбец неизвестных, матрица – вектор-столбец свободных членов, А – основная матрица системы.

7. Однородная система – система уравнений, все свободные члены которой равны нулю; в матричной форме – система с нулевым вектором-столбцом В.

8. Неоднородная система – система уравнений, хотя бы один свободный член которой отличен от нуля.

9. Решение системы – совокупность значений неизвестных, при которых каждое уравнение системы обращается в тождество.

10. Совместная система – системауравнений, имеющая хотя бы одно решение; однородная система уравнений всегда совместна, так как ей удовлетворяет нулевое (тривиальное) решение: x ₁ = x ₂ = … = x_n = 0.

11. Несовместная система – системауравнений, которая не имеет ни одного решения.

12. Определенная система – совместная системауравнений, имеющая единственное решение.

13. Неопределенная система – совместная системауравнений, которая имеет более одного решения.

14. Теорема Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы.

15. Свободные неизвестные – неизвестные в решении неопределенной системы уравнений, через которые можно выразить все остальные; число свободных неизвестных равно числу неизвестных в системе минус ранг основной (или равный ему ранг расширенной) матрицы системы.

16. Базисные неизвестные – неизвестные, которые в решении неопределенной системы уравнений выражены через свободные; число базисных неизвестных равно рангу основной (или равному ему рангу расширенной) матрицы системы.

17. Частное решение системы – каждое решение неопределенной системы уравнений при заданных значениях свободных неизвестных-параметров.

18. Общее решение системы – совокупность всех частных решений системы уравнений.

19. Базисное решение системы – частное решение неопределенной системы уравнений, в котором все свободные неизвестные приравнены нулю.

20. Формулы Крамера – формулы расчета решения системы n линейных уравнений с n неизвестными A∙ X = B, для которой определитель системы Δ = det A ≠ 0: х_j = Δ _j ∕ Δ, где Δ _j – дополнительные определители системы, j = , получаемые из определителя системы заменой соответствующего j -го столбца (т.е. столбца коэффициентов при неизвестной x_j) столбцом свободных членов данной системы.

21. Матричный способ решения системы линейных уравнений, для которой Δ = det A ≠ 0: X = А^{− 1}∙ B, где А^{− 1} – обратная матрица к основной квадратной матрице системы А; матрица В – вектор-столбец свободных членов системы; матрица Х – вектор-столбец неизвестных системы.

22. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений – метод решения системы линейных уравнений, предусматривающий прямой ход, в процессе которого расширенная матрица системы (А | B) элементарными преобразованиями ее строк приводится к ступенчатому виду, и обратный ход, в процессе которого последовательной подстановкой найденных значений базисных неизвестных находится решение системы.

Примеры выполнения задания №1