Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые, находящиеся в одной плоскости, будут либо пересекающимися, либо параллельными. Выясним условия, при которых прямые соответствуют тому или иному случаю, определим угол между прямыми, координаты точки пересечения, если таковая имеется.

Пусть две прямые заданы уравнениями

, . (4.1)

Поскольку угловой коэффициент определяет наклон прямой к оси абсцисс, то очевидно, что равные углы наклона соответствуют параллельным прямым. Поэтому условием параллельности двух прямых, заданных уравнениями (4.1) является равенство их угловых коэффициентов

. (4.2)

Если , то угол между прямыми (4.1) определяется известной тригонометрической формулой тангенса разности двух углов , которое в случае прямых принимает вид

. (4.3)

Если прямые (4.1) перпендикулярны, т.е. , то

− (4.4)

условие перпендикулярности двух прямых.

Если прямые заданы общими уравнениями

, , (4.5)

то указанные выше условия будут выглядеть так:

условие параллельности ; (4.6)

условие перпендикулярности ; (4.7)

угол между прямыми . (4.8)

Условие (4.9)

определяет совпадающие прямые.

Точка пересечения двух прямых (4.5) есть общая точка этих прямых. Координаты этой точки должны одновременно удовлетворять уравнениям обеих прямых, т.е. системе

. (4.10)

Решая эту систему, находим координаты искомой точки.

Замечание. Для определения угла между прямыми, удобнее переходить к уравнению с угловым коэффициентом.

Пример 1. Напишите уравнение медианы АМ треугольника АВС, если заданы координаты его вершин А(-5; 4), В(3; 1), С(2; -5).

Решение. Точка М − середина отрезка ВС, поэтому в соответствии с формулами (2.5) ; ; М(2, 5; -2). Уравнение прямой АМ запишем, используя формулу (3.1): или , , . Разделив обе части уравнения на 1, 5, получим более удобный вид − уравнение медианы АМ.

Пример 2. Напишите уравнение прямой , проходящей через точку М(7; 4) параллельно прямой .

Решение. Первый способ. Согласно формуле (3.5), уравнение любой прямой, проходящей через точку М, может быть записано в виде . Поскольку искомая прямая должна быть параллельна прямой , то их угловые коэффициенты совпадают. Запишем в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом , откуда . Следовательно, искомая прямая имеет уравнение или .

Второй способ. Будем искать уравнение прямой в виде . Поскольку прямая проходит чрез точку М(7; 4), то координаты этой точки удовлетворяют уравнению. И можно записать . Данная прямая параллельна прямой , для которой , . Подставив эти значения в предыдущее уравнение, получим , . Окончательно запишем, что уравнение искомой прямой имеет вид .

Замечание. Если дано общее уравнение прямой , то уравнение параллельной прямой, проходящей через заданную точку х₁, у₁, имеет вид

. (4.11)

Пример 3. Проверить, принадлежит ли точка М(2; -4) прямой .

Решение. Подставим координаты точки М в левую часть уравнения прямой . Поскольку левая часть не равна правой: , то точка М не принадлежит прямой .

Пример 4. На прямой найти точку, у которой ордината .

Решение. Подставив в уравнение прямой значение найдем абсциссу : ; . Искомая точка .

Пример 5. Найти координаты вершин параллелограмма , если известны координаты вершины , а также уравнение сторон : и : .

Решение. Решая эту задачу, необязательно (и даже не нужно) рисовать данные в условии прямые и точки в декартовых координатах. Достаточно (для себя) нарисовать произвольный параллелограмм, чтобы определиться с расположением вершин и сторон (рис. 6). Окончательный чертеж можно выполнить после получения решения.

Поскольку , то, используя условие параллельности двух прямых (4.11), можно записать , − уравнение прямой DC. Прямая AD, заданная уравнением , параллельна оси ОХ . И поскольку точка принадлежит прямой ВС, то уравнение полностью определяет эту прямую. Теперь, когда известны уравнения всех сторон параллелограмма, его вершины найдем из решения систем вида (4.10). Точка А − пересечение прямых АВ и AD:

.

Точка В − пересечение прямых АВ и ВС:

.

Точка − пересечение прямых AD и DC:

.

Ответ: координаты точек , , .

Пример 6. Найти уравнение прямой , проходящей через точку М(1; 1), перпендикулярно прямой .

Решение. Перепишем уравнение в виде . Таким образом, угловой коэффициент данной прямой . Если прямая, проходящая через точку М, перпендикулярна данной, то их угловые коэффициенты связаны соотношением (4.4): , откуда . В соответствии с формулой (3.5), можно записать уравнение искомой прямой , проходящей через точку М(1; 1) перпендикулярно прямой или ; .

Ответ: уравнение прямой .

Пример 6.1. Найти расстояние от точки М(1; 1) до прямой .

Решение. Расстоянием d от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую. Поэтому сначала запишем уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. Эта часть задания нами уже выполнена в примере 6, поэтому воспользуемся готовым результатом и запишем, что нужная нам прямая имеет уравнение . Найдем точку А пересечения прямых и , решая систему ; ; . Расстояние между точками А и М вычислим по формуле (2.1): .

Ответ: расстояние от точки М до прямой d=1.

Замечание. Можно вывести формулу расстояния от точки до прямой в общем случае, используя рассуждения примера 6.1. Тогда получим формулу

, (4.12)

определяющую расстояние от точки до прямой. Вместо слов «расстояние от точки до прямой» иногда используют выражение «отклонение точки от прямой».

Пример 7. Через точку провести прямую под углом к прямой .

Решение. Обозначим прямую как , а искомую прямую, проходящую через точку М, как . Уравнение прямой, проходящей через точку М, имеет вид (см. формулу (3.5)): или . Здесь − угловой коэффициент прямой . Записав уравнение прямой в виде , найдем ее угловой коэффициент . Поскольку известен угол между прямыми, то согласно формуле (4.3) ; ; ; . Теперь окончательно запишем уравнение искомой прямой или .

Пример 8. Даны две вершины треугольника и . Его высоты пересекаются в точке . Определить координаты третьей вершины треугольника .

Решение. Для удобства рекомендуется нарисовать произвольный треугольник АВС (рис. 7).

Пусть AD, BF и CK – высоты треугольника АВС, N – точка пересечения высот. В связи с этим AN и AD определяют одну и ту же прямую. Аналогично для пар BN и BF, а также CN и CK. Согласно формуле (3.1) уравнение прямой BN (или, что то же самое, прямой BF: ; ; ; − прямая BF. Аналогично, уравнение прямой AN (или AD): ; − прямая AD.

Запишем уравнение стороны ВС как уравнение прямой, проходящей через точку В, перпендикулярно прямой AD. Поскольку AD определяется уравнением y=const, то перпендикулярная ей прямая ВС будет иметь уравнение x=const. А так как эта прямая проходит через точку В, то абсцисса точки В и определит уравнение ВС: х=6.

Уравнение стороны АС запишем как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно прямой BF, согласно формулам (4.4) и (3.5). Так как угловой коэффициент BF известен: , то угловой коэффициент АС – это , поэтому уравнение АС: ; − уравнение АС.

Точка С теперь может быть найдена как пересечение прямых ВС
и АС: ; ; .

Ответ: С(6; -6).