Уравнение прямой в декартовых координатах

Положение прямой вполне определено, если заданы какие-либо две ее точки или дана одна точка и указано направление прямой.

Пусть на прямой АВ зафиксированы две точки и .

Выбранная на этой же прямой произвольная точка делит отрезок [AB] в некотором отношении. Тогда справедливо равенство

, (3.1)

которое называется уравнением прямой, проходящей через две данныеточки плоскости. Если обозначить , , то получим

или − (3.2)

параметрическое уравнение прямой на плоскости.

Замечание. Формулы (3.1) и (3.2) следует понимать как пропорции, в которых значения и могут быть равны нулю.

Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А(1; 3). В(4; 0), С(-4; 3). Записать уравнения его сторон.

Решение. Используем формулу (3.1) и запишем:

(АВ): , , , .

(АС): , , , .

(ВС): , , , .

Ответ. (АВ): ; (АС): ; (ВС): .

Как видно из предыдущего примера, преобразование выражения (3.1) приводит к уравнению

, (3.3)

которое называется общим уравнением прямой. Это алгебраическое уравнение первой степени относительно двух переменных, называемое также линейным уравнением.

Таким образом, уравнение всякой прямой можно записать в виде (3.3), где А и В одновременно не равны нулю. Верно и обратное, т.е. уравнение (3.3) всегда определяет прямую.

Зная уравнение прямой, можно её построить, произвольно задавая две какие-либо её точки.

Пример 2. Дано общее уравнение прямой . Построить эту прямую.

Решение. Возьмем два произвольных значения и вычислим соответствующие значения . Пусть , тогда , . Пусть , тогда , . Таким образом, прямая проходит через точки (0; -2) и (-3; 0) (рис. 4).

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.3), в которых какие-либо из коэффициентов А, В, С равны нулю:

1) если прямая проходит через начало координат, то в уравнении (3.3) : ;

2) если прямая параллельна оси абсцисс ОХ, то : или ;

3) если прямая параллельна оси ординат ОУ, то : или ;

4) уравнение определяет ось ОХ (одновременно выполняются условия 1) и 2)). Уравнение определяет ось ОУ.

Пример 3. Уравнение определяет прямую, проходящую через точку параллельно оси абсцисс. Уравнение определяет прямую, проходящую через точку (-2; 0), параллельно оси ординат. Прямая проходит через начало координат и представляет собой биссектрису первого и третьего координатных углов.

Если в общем уравнении прямой (3.3) коэффициент В не равен нулю, то уравнение (3.3) можно привести к виду

, (3.4)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, решая относительно уравнение (3.3), получим . Обозначая , , приходим к уравнению (3.4).

Пример 4. Дано общее уравнение прямой . Записать его как уравнение с угловым коэффициентом.

Решение. Запишем уравнение в виде , откуда , , .

Числа и в уравнении (3.4) имеют вполне определенный геометрический смысл. Угловой коэффициент − это тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси ОХ (отсчет ведется от оси абсцисс в направлении против часовой стрелки): . Число показывает ординату пересечения прямой с осью ОУ (рис. 5).

Таким образом, два параметра и полностью определяют положение прямой. Случай соответствует прямой , проходящей через начало координат. Случай определяет прямую , параллельную оси ОХ и проходящую через точку .

Если теперь мы вернемся к уравнению прямой, проходящей через две заданные точки (3.1), то, записав его в виде , заметим, что отношение есть не что иное, как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, т.е. . Теперь уравнение (3.1) можно переписать в виде

. (3.5)

которое является уравнением прямой, проходящей через заданную точку . Задавая различные значения , мы получим все прямые, проходящие через точку . Поэтому уравнение (3.5) еще называют уравнением пучка прямых с центром в точке .

Пример 5. Уравнение определяет любую прямую, проходящую через точку (2; 1). Выбирая различные значения , получим частные случаи прямых, проходящих через данную точку. Так, если , то уравнение определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Если , получим или , и т.д.

Если в общем уравнении прямой (3.3) все коэффициенты А, В, С отличны от нуля, то удобно преобразовать уравнение к виду

, (3.6)

которое называется уравнением прямой в отрезках. Числа и представляют собой координаты пересечения прямой с осями ОХ и ОУ соответственно. Переход от уравнения (3.3) к уравнению (3.6) выполняется так. Записав уравнение в виде , делим обе части полученного уравнения на : или . Обозначив, , , получим (3.6).

Пример 6. Привести уравнение прямой к уравнению в отрезках.

Решение. Записав , делим обе части равенства на (-6), получаем или . Прямая пересекает ось ОХ в точке
(-3; 0), а ось ОУ − в точке (0; -2) (см. рис. 4).