Основное уравнение гидростатики и закон Паскаля

В большинстве прикладных задач равновесие жидкости рассматривают в поле одной массовой силы, а именно, силы тяжести. В этом случае проекции и равны нулю, а проекция при указанной на рис.2 ориентации осей координат отрицательна и численно равна ускорению свободного падения. При этих условиях уравнения Эйлера приобретают вид

, ,

Первые два из них показывают, что в горизонтальных направлениях давление не меняется, т.е. все горизонтальные сечения жидкости являются поверхностями равного давления. Третье уравнение характеризует изменение гидростатического давления в вертикальном направлении. Для несжимаемой жидкости интегрированием получаем

или с использованием условий на свободной поверхности

(6)

Соотношение (6) носит название основного уравнения гидростатики. Оно имеет следующий геометрический смысл: гидростатический напор , представляющий собой сумму геометрической z и пьезометрической высот, во всех точках покоящейся жидкости одинаков.

Наглядное представление об указанном свойстве гидростатического напора можно получить в опыте с откачанными стеклянными трубками (пьезометрами), присоединёнными открытыми концами к точкам 1 и 2 резервуара с жидкостью (рис. 3).

1 2 z2 z0

z1

0 0

Рис.3

Так как высота подъёма жидкости в пьезометре над уровнем жидкости в резервуаре определяется давлением на её свободную поверхность, то уровни в обоих пьезометрах установятся на одинаковом расстоянии от этой поверхности и, следовательно, от плоскости сравнения 0-0.

Последнее расстояние, как легко видеть, совпадает с величиной гидростатического напора. Горизонтальная плоскость, проходящая через уровни жидкости в пьезометрах, называется пьезометрической, а её пересечение с плоскостью чертежа – пьезометрической линией Р-Р.

После умножения всех членов на ускорение свободного падения уравне-ние (6) приобретает смысл закона сохранения энергии в гидростатике – полная удельная потенциальная энергия покоящейся жидкости, равная сумме энергии положения и энергии давления, есть величина постоянная

Основное уравнение гидростатики можно преобразовать к виду

, (7)

где – заглубление рассматриваемой точки относительно cвободной поверхности жидкости.

Из соотношения (7) следует, что давление в данной точке покоящейся жидкости равно сумме внешнего давления , действующего на свободную поверхность, и “весового” давления , создаваемого столбом жидкости, расположенной над этой точкой.

Уравнение (7) отражает также так называемое свойство идеальной “проводимости” жидкости, составляющее содержание закона Паскаля: давление, приложенное к внешней поверхности, передается во все точки жидкости без изменения.

На законе Паскаля основано действие многих гидравлических машин: прессов, подъемников, тормозов, мультипликаторов и др. Принципиальная схема гидравлического пресса показана на рис. 4.

P1

П1 h П2

P2

Рис.4

К поршню приложена внешняя сила , создающая в жидкости избыточное гидростатическое давление

,

где – площадь поперечного сечения первого поршня.

Это давление вместе с дополнительным “весовым” давлением столба жидкости высотой h действует на второй поршень с площадью поперечного сечения , создавая сжимающее усилие

.

Таким образом, гидравлический пресс позволяет увеличить силу на выходе примерно в раз.