Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
ТЕОРЕМА 4.16. Если функция определена на отрезке с концами и и в точке имеет производные до -го порядка включительно, то при имеет место формулаСтр 1 из 2Следующая ⇒
Формула Тейлора для дифференцируемой функции.
Пусть имеем функцию , которая раз дифференцируема в некоторой точке . Тогда для нее можно составить многочлен
, (1)
который называют многочленом Тейлора порядка функции в точке . Рассмотрим величину
(2)
уклонения многочлена Тейлора от функции , которая называется -ым остаточным членом. Легко видеть, что если функция является многочленом, то она совпадает со своим многочленом Тейлора и поэтому . Рассмотрим теорему, которая дает оценку остаточному члену формулы Тейлора через некоторую функцию и точку , лежащую между и .
ТЕОРЕМА 4.15. Если на отрезке с концами и функция непрерывна вместе со всеми своими производными функциями до -го порядка включительно, а во внутренних точках этого отрезка она имеет производную функцию -го порядка, то при любой функции, непрерывной на этом отрезке и имеющей отличную от нуля производную функцию в его внутренних точках, найдется точка, лежащая между и такая, что .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим на отрезке с концами и вспомогательную функцию такую, что . В развернутом виде функция выглядит так. Найдем производную функцию . . Применим к функциям и теорему Коши на отрезке с концами и . Тогда найдется точка , лежащая между и , что
. (3)
Заметим, что и . Значит равенство (3) примет вид Отсюда и получается требуемая формула.
Рассмотрим некоторые частные случаи теоремы 4.15.
1) Пусть . Тогда . Поэтому . Полученное выражение называется остаточным членом в форме Коши.
2) Пусть . Тогда . Поэтому Это остаточный член в форме Лагранжа.
ТЕОРЕМА 4.16. Если функция определена на отрезке с концами и и в точке имеет производные до -го порядка включительно, то при имеет место формула . (4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства теоремы достаточно показать, что . Из формулы (2) имеем . Продифференцировав это равенство раз, получим ................................................... Теперь заметим, что ; ; ; .............................................................. . Поэтому для вычисления требуемого предела, применив раз теорему Лопиталя, получим Теорема доказана.
Формула (4) называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Рассмотрим применение формулы Тейлора для приближенного вычисления числа с точностью до 0, 001. Возьмем функцию . Выберем и запишем для этой функции формулу Тейлора. Для этого найдем значения производных функции в точке . . Поэтому . Следовательно, формула Тейлора имеет вид:
. (*)
Запишем остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Заметив, что , получаем , где находится между и 0. Полагая в формуле (*) =1, будем иметь
. (**)
где . Определим, сколько членов в равенстве (**) нужно взять, чтобы обеспечить заданную точность. Для этого оценим остаточный член. Учитывая, что , получаем такую оценку , или . Отсюда подбором находим : . Следовательно, для решения поставленной задачи достаточно взять 6 членов (начиная с нулевого) в формуле Тейлора. .
|