ТЕОРЕМА 4.10 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда внутри найдется точка такая, что .

Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

ТЕОРЕМА 4.9 (Ролля). Пусть функция непрерывна на, дифференцируема на и. Тогда внутри найдется точка такая, что.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как функция непрерывна на , то по второй теореме Вейерштрасса она среди своих значений имеет наибольшее и наименьшее . Очевидно, что . Если , то функция постоянна на , а значит при любом из .

Если , то в силу условия заключаем, что хотя бы одно из значений и принимается функцией в некоторой внутренней точке отрезка . Но тогда будет точкой экстремума для , а, следовательно, по теореме Ферма .

Теорема Ролля допускает простое геометрическое истолкование: в условиях этой теоремы на кривой найдется точка, в которой касательная к этой кривой параллельна оси ОХ.

ТЕОРЕМА 4.10 (Лагранжа). Пусть функция непрерывна на и дифференцируема на. Тогда внутри найдется точка такая, что.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательную функцию такую, что . Легко видеть, что функция непрерывна на , как разность непрерывных функций, и дифференцируема на , как разность дифференцируемых функций. Вычислим значения функции на концах отрезка .

. .

Итак . Следовательно, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на . Поэтому найдется точка внутри такая, что , или , откуда

.

Теорема Лагранжа имеет простую геометрическую интерпретацию.

Отношение есть угловой коэффициент хорды АВ, соединяющей концы кривой .

есть угловой коэффициент касательной к этой кривой в точке . Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что на кривой с концами в точках А и В найдется точка, в которой касательная будет параллельной хорде АВ.

Замечание 1. Теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа: при дополнительном условии формула Лагранжа принимает вид .

Замечание 2. Формулу Лагранжа можно записать по-другому: . В таком виде формула Лагранжа дает значение приращения функции на , выраженное через приращение аргумента и некоторую внутреннюю точку отрезка . Поэтому формулу Лагранжа еще называют формулой конечных приращений.