Б.2. Таблицы распределений

В этом разделе представлены стандартные таблицы некоторых функций распределения, часто используемых в научных исследованиях. Такое традиционное представление имеет свои преимущества перед вероятностным калькулятором (например, таким, который включен в систему STATISTICA), поскольку в таблицах одновременно представлено большое число значений, и пользователь может достаточно быстро исследовать большой диапазон значений вероятностей.

Стандартное гауссово (нормальное) распределение

Гауссів (нормальний) розподіл в радіотехніці і багатьох інших застосуваннях зустрічається найчастіше. Пояснити це можна тим, що гауссів випадковий процес – такий процес миттєві значення якого підпорядковуються нормальному розподілу – часто використовують для опису завад у каналах зв‘язку.

Математичний апарат опису та аналізу гауссових випадкових процесів добре розроблений і зручний. З цієї причини випадкові процеси такі, що не надто сильно відрізняються від гауссових, або такі, що для їх точного опису недостатньо апріорної інформації, але умови їх утворення узгоджуються з умовами одержання гауссового розподілу, часто при аналізі замінюють гауссовим процесом (у крайньому разі, в першому наближенні). Детальніше про це див. у [16].

Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием стандартным отклонением (или дисперсией ). В том случае, когда и , такое распределение называется стандартным нормальным распределением. На рис. Б1.1 приведены графики плотности вероятности

и функции распределения

стандартного нормального распределения.

В некоторых статистических таблицах приведены значения при изменении от до (див., наприклад, [5]). Однако такую таблицу можно сократить вдвое. Сама функция является функцией общего вида, но функция является нечетной, то есть . Поэтому таблицу значений функции достаточно составить лишь для . Функция называется функцией Лапласа и имеет вид

График этой функции приведен на рисунке Б1.2. Фактически таблица Б1 – это оцифрованная зависимость, представленная на рис. Б1.2. Значения, приведенные в таблице, представляют собой величину площади под стандартной нормальной (гауссовой) кривой от 0 до соответствующего z-значения, как показано на рисунке. Например, величина этой площади между значениями 0 и 2.36 показана в ячейке, находящейся на пересечении строки 2.30 и столбца 0.06, и составляет 0.4909. Значение площади между 0 и отрицательным значением находится на пересечении строки и столбца, которые в сумме соответствуют абсолютному значению заданной величины. Например, площадь под кривой от -1.3 до 0 равна площади под кривой между 1.3 и 0, поэтому ее значение находится на пересечении строки 1.3 и столбца 0.00 (и составляет 0.4032).

Таблица Б1

t -распределение Стьюдента

Форма распределения Стьюдента зависит только от числа степеней свободы. . Если дисперсия эмпирические и среднее подсчитывались по результатам одного и того же эксперимента, то , где объем выборки.

Графики плотности вероятности -распределения при различных значениях по форме напоминают плотность нормального распределения (см. рисунок), но имеют более тяжелые «хвосты», то есть при значительно медленнее сближаются с осью абсцисс. Однако при , другими словами при дисперсия , рассчитанная по выборке стремится к дисперсии нормального распределения. При малых объемах выборки распределение Стьюдента сильно отличается от нормального. Это значит, что его роль особенно велика в статистике малых выборок, когда . В табл. Б2 приведены квантили распределения Стьюдента. (Квантіль це точка у розподілі частот, що поділяє дані у заданому співвідношенні.) В верхней части таблицы приведены вероятности р получить значения, большие, чем указаны в соответствующей ячейке. Критическое значение, соответствующее вероятности 0.05 t -распределения с 6-ю степенями свободы, находится на пересечении столбца 0.05 и строки 6: .

Таблица Б2

r\p	0.40	0.25	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.0005
	0.324920	1.000000	3.077684	6.313752	12.70620	31.82052	63.65674	636.6192
	0.288675	0.816497	1.885618	2.919986	4.30265	6.96456	9.92484	31.5991
	0.276671	0.764892	1.637744	2.353363	3.18245	4.54070	5.84091	12.9240
	0.270722	0.740697	1.533206	2.131847	2.77645	3.74695	4.60409	8.6103
	0.267181	0.726687	1.475884	2.015048	2.57058	3.36493	4.03214	6.8688
	0.264835	0.717558	1.439756	1.943180	2.44691	3.14267	3.70743	5.9588
	0.263167	0.711142	1.414924	1.894579	2.36462	2.99795	3.49948	5.4079
	0.261921	0.706387	1.396815	1.859548	2.30600	2.89646	3.35539	5.0413
	0.260955	0.702722	1.383029	1.833113	2.26216	2.82144	3.24984	4.7809
	0.260185	0.699812	1.372184	1.812461	2.22814	2.76377	3.16927	4.5869
	0.259556	0.697445	1.363430	1.795885	2.20099	2.71808	3.10581	4.4370
	0.259033	0.695483	1.356217	1.782288	2.17881	2.68100	3.05454	4.3178
	0.258591	0.693829	1.350171	1.770933	2.16037	2.65031	3.01228	4.2208
	0.258213	0.692417	1.345030	1.761310	2.14479	2.62449	2.97684	4.1405
	0.257885	0.691197	1.340606	1.753050	2.13145	2.60248	2.94671	4.0728
	0.257599	0.690132	1.336757	1.745884	2.11991	2.58349	2.92078	4.0150
	0.257347	0.689195	1.333379	1.739607	2.10982	2.56693	2.89823	3.9651
	0.257123	0.688364	1.330391	1.734064	2.10092	2.55238	2.87844	3.9216
	0.256923	0.687621	1.327728	1.729133	2.09302	2.53948	2.86093	3.8834
	0.256743	0.686954	1.325341	1.724718	2.08596	2.52798	2.84534	3.8495
	0.256580	0.686352	1.323188	1.720743	2.07961	2.51765	2.83136	3.8193
	0.256432	0.685805	1.321237	1.717144	2.07387	2.50832	2.81876	3.7921
	0.256297	0.685306	1.319460	1.713872	2.06866	2.49987	2.80734	3.7676
	0.256173	0.684850	1.317836	1.710882	2.06390	2.49216	2.79694	3.7454
	0.256060	0.684430	1.316345	1.708141	2.05954	2.48511	2.78744	3.7251
	0.255955	0.684043	1.314972	1.705618	2.05553	2.47863	2.77871	3.7066
	0.255858	0.683685	1.313703	1.703288	2.05183	2.47266	2.77068	3.6896
	0.255768	0.683353	1.312527	1.701131	2.04841	2.46714	2.76326	3.6739
	0.255684	0.683044	1.311434	1.699127	2.04523	2.46202	2.75639	3.6594
	0.255605	0.682756	1.310415	1.697261	2.04227	2.45726	2.75000	3.6460
	0.253347	0.674490	1.281552	1.644854	1.95996	2.32635	2.57583	3.2905

Хи-квадрат распределение

Как и в случае t -распределения Стьюдента, форма хи-квадрат распределения определяется числом степеней свободы. На рисунке показана его форма для числа степеней свободы 4. В таблице Б3 приведены критические значения хи-квадрат распределения с заданным числом степеней свободы. Искомое значение находится на пересечении столбца с соответствующим значением вероятности и строки с числом степеней свободы. Например, критическое значение хи-квадрат распределения с 4-мя степенями свободы для вероятности 0.25 составляет 5.38527. Это означает, что площадь под кривой плотности хи-квадрат распределения с 4-мя степенями свободы справа от значения 5.38527 равна 0.25.

Таблица Б3

F -распределение (распределение дисперсионного отношения)

F -распределение является асимметричным и обычно используется в дисперсионном анализе. Такую плотность распределения имеют величины, являющиеся отношением двух величин, имющих хи-квадрат распределение, при этом соответствующее F -распределение определяется двумя значениями числа степеней свободы. На иллюстрации, приведенной ниже, показано распределение . Первый индекс всегда соответствует числу степеней свободы для числителя, и этот порядок является существенным, поскольку не равно . В приведенных ниже таблицах Б4 в столбце показано число степеней свободы числителя, а в строке – число степней свободы для знаменателя. В названии таблицы указано значение вероятности. Например, критическое значение F- распределения для вероятности 0.05 и степеней свободы 10 и 12 находится в таблице Б4-2 на пересечении столбца с значением 10 (числитель) и строки с значением 12 (знаменатель) в таблице F -распределение для : .

F -распределение для .

Таблица Б4-1

F -распределение для .

Таблица Б4-2

F -распределение для .

Таблица Б4-3