Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах и обращается в нуль (т. е. ), то внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка , , в которой производная .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка , , что

.

Теорема Коши. Если и – две функции, непрерывные на отрезке и дифференцируемые внутри него, причем нигде не обращается в нуль внутри этого отрезка, то внутри отрезка найдется такая точка , , что

.

1.2.2. Правило Лопиталя – Бернулли раскрытия неопределенностей

Теорема 1. Раскрытие неопределенности вида .

Пусть

1) функции и определены в промежутке ;

2) , ;

3) существуют в промежутке конечные производные и .

Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный) , то существует и , причем

.

Теорема 2. Раскрытие неопределенности вида .

Пусть

1) функции и определены в промежутке ;

2) , ;

3) существуют в промежутке конечные производные и , причем .

Тогда, если существует предел (конечный или бесконечный) , то существует и , причем

.

Теоремы 1 и 2 верны и в том случае, если , , , , .

Для раскрытия неопределенностей вида преобразуем соответствующее произведение , где и , в частное (тип ) или (тип ).

В случае неопределенности вида следует преобразовать соответствующую разность , где и , в произведение и раскрыть неопределенность . Если , то приводим выражение к виду (тип ).

Неопределенности вида , , раскрывают с помощью предварительного логарифмирования и нахождения предела логарифма степени .