Краткая теория

1. Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства х единиц данного продукта. Прибыль Р(х) = D(х)–С(х), где D(х)– доход от производства х единиц продукта.

Средние издержки А(х) при производстве х единиц продукта есть . Предельные издержки М(х) = С'(х).

2. Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение х единиц продукта, при котором прибыль Р(х) оказывается наибольшей.

8.125. Функция издержек имеет вид С(x) = 100 + x², а доход при производстве x единиц товара определяется следующим образом:

Определить оптимальное для производителя значение выпуска x₀.

Решение. Функция прибыли имеет вид:

Найдем производную функции прибыли:

Очевидно, P'(x) > 0 при x < 100, так что наибольшее значение прибыли на отрезке [0; 100] есть P(100) = 399900. Найдем теперь наибольшее значение прибыли на интервале (100; +∞). Имеется одна критическая точка x = 200. При этом P'(x)> 0 при 100< x < 200 и P'(x)< 0 при x> 200, т.е. x = 200 – максимальное значение P(x) на интервале (100; +∞).

P(200) = 419900 > P(100), таким образом, x_опт = 200 (ед.).

8.126. Функция издержек имеет вид C(x) = 10+ . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A(x). В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл. ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки A(x) = принимают минимальное значение при x = 10. Предельные издержки M(x) = . При установившейся цене p = 4 оптимальное значение P(x) выпуска задается условием максимизации прибыли:

P(x) = 4x- C(x)→ max, т.е. 4 = M(x), откуда x_опт = 20.

Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

8.127. Фирма минимизирует средние издержки, которые получаются в результате равными 30 руб./ед. Чему равны при этом предельные издержки?

Определить оптимальное для производителя значение выпуска x₀, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p и известен вид функции издержек C(x):

8.128. C(x) = 13 + 2x + x³; p = 14. 8.129. C(x) = 10 + x + ; p = 8.

8.130. C(x) = 8 + ; p = 1, 85.

Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р известен вид функций издержек С (х):

8.131. р = 10, 5. 8.132. р = 6, 5.

8.133. р = 40.

При производстве монополей х единиц товара цена за единицу р (х). Определить оптимальное для монополии значения выпуска х₀ (предполагается, что весь производственный товар реализуется), если издержки С (х) имеют вид:

8.134. р (х) = 8 - . 8.135. р (х) = .

8.136. р (х) = 8 - .

8.137. Монополия устанавливает фиксированную цену р = 380 за единицу товара. Издержки при производстве х единиц товара равны С(х) = 292х + х². При этом количество реализуемого товара К (х) зависит от х следующим образом: . Определить значение х, при котором монополия получит максимальную прибыль.

8.138. Монополия производит фиксированное количество х единиц товара и устанавливает на единицу товара цену р > р₀. Количество реализуемого товара К зависит от р следующим образом (р₀ – цена, при которой будет реализован весь товар):

(р₀ < 1).

Определить значение р, при котором монополия получит максимальную прибыль.

8.139. Решить задачу 8.138 при условии, что

8.140. На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причем функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р = 37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом измениться средние издержки?

8.141. Функция издержек имеет вид С(х) = 40х + 0, 08х³. Доход от реализации единицы продукции равен 200. Найти оптимальное для производителя значения выпуска продукции.

8.142. Зависимость объема выпуска (в денежных единицах) продукции V от капитальных затрат х определяется функцией . Найти интервал значений х, на котором увеличение капитальных затрат не эффективно.

8.143. Считается, что увеличение реализации у от затрат на рекламу х (млн. руб.) определяется соотношением: . Доход от реализации единицы продукции равен 20 тыс. руб. Найти уровень рекламных затрат, при котором фирма получит максимальную прибыль.

8.144. Количество реализованной монополии продукции х в зависимости от цены р за единицу определяется соотношением . Найти значение цены р, при котором монополия получит наибольшую прибыль.

8.145. Доход от производства продукции с использованием х единиц ресурсов составляет величину 400 . Стоимость единицы ресурсов составляет 10 усл.ед. Какое количество ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?

8.146. Функция издержек имеет вид С(х) = х + 0, 1х². Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

8.147. Зависимость дохода монополии от количества выпускаемой продукции х определяется как D(x) = 100x - 1000 . Функция издержек на этом промежутке имеет вид: . Найти оптимальную для монополии – производителя значение выпуска продукции.

8.148. Цена на продукцию монополии – производителя устанавливается в соответствии с соотношением, идентифицируемом как р = р₀ (1-0, 2 ). При каком значении выпуска продукции доход от ее реализации будет наибольшим?

8.149. Функция издержек С(х) имеет вид: , x > 100. В настоящий момент уровень выпуска продукции х = 200. При каком условии на параметр р фирме выгодно уменьшить выпуск продукции, если доход от реализации единицы продукции равен 50?