Функция

Понятие «функции» является одним из основополагающих в математике. В дан­ном случае подразумеваются прежде всего функции, отображающие одно конеч­ное множество объектов в другое конечное множество. Мы избегаем использо­вания термина «отображение» и предпочитаем слово «функция» в расчете на постоянное сопоставление читателем математического понятия функции с поня­тием функции в языках программирования.

Пусть f — отношение из А в В, такое что

a (a, b) ϵ f& (а, с) ϵ f b = с.

Такое свойство отношения называется однозначностью, или функциональностью, а само отношение называется функцией из А в В и обозначается следующим образом: f: A → В. Если f: A → В, то обычно используется префиксная форма записи:

b = f(a)=(a, b) ϵ f.

Если b = f(a), то а называют аргументом, а b — значением функции.

Пусть f: A→ В, тогда

область определения функции: f_А= {aϵ А | bϵ В b= f(а)};

область значений функции: f_B= {bϵ В| аϵ Ab = f(а)}.

Если f _А = A, то функция называется тотальной, а если f _А≠ A — частичной. Сужением функции f: A→ В на множество М А называется функция f |_M, определяемая следующим образом:

f |_M = {(а, b) | (а, b) ϵ f & а ϵ М}

Для тотальной функции f= f|_fA.

Функция f: A₁× …× А_п → В называется функцией n аргументов, или п-местной функцией.

Пусть f: A→ В. Тогда функция f называется:

инъективной, если b = f(a₁) & b = f(a₂) a₁ = a₂;

сюръективной, если bϵ В aϵ А b = f(а);

биективной, если она инъективная и сюръективная.

Биективную функцию также называют взаимнооднозначной.

Следующий рисунок иллюстрирует понятия отношения, функции, инъекции, сюръекции и биекции.

Теорема. Если f: A→ В — тотальная биекция (f _А = А), то отношение f ^-1 В × А (обратная функция) является биекцией.