Прямая линия на плоскости. В зависимости от исходных данных и решаемой задачи уравнение прямой линии на плоскости может иметь различный вид.

В зависимости от исходных данных и решаемой задачи уравнение прямой линии на плоскости может иметь различный вид.

Каноническое (симметричное) уравнение прямой. Прямую можно задать точкой , через которую она проходит, и направлением ее прохождения по направлению вектора , лежащего на прямой или параллельного ей (рис. 5.4). Этот вектор называется направляющим вектором прямой. Вектор , проведенный из точки в любую произвольную точку прямой , лежит на прямой и параллелен (коллинеарен) направляющему вектору. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их соответствующих координат, т. е.

Уравнение (5.5) называется каноническим (симметричным) уравнением прямой.

Направление прямой может быть задано вектором , которому она перпендикулярна (рис. 5.4). Этот вектор называют нормальным вектором прямой. Условием перпендикулярности векторов и является равенство нулю их скалярного произведения

. (5.6)

Уравнение (1.3.6) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данному вектору.

Уравнение (5.6) можно записать в виде

. (5.7)

Коэффициенты в общем уравнении прямой (5.7) определяют координаты нормального и направляющего векторов этой прямой: , . Следует отметить, что эти векторы определяются с точностью до постоянного множителя, т. е. векторы и , где – любое не равное нулю число, также могут быть взяты в качестве нормального и направляющего вектора соответственно.

Пример. Дана прямая (). Составить уравнения прямых, проходящих через точку а) параллельно данной прямой

(), б) перпендикулярно данной прямой ().

◄ а) Направляющий вектор для данной прямой будет направляющим вектором и для (). Каноническое уравнение прямой согласно (5.5) будет . Отсюда получаем общее уравнение прямой : . Это же уравнение можно получить другим путем. Записав общее уравнение прямой в виде (коэффициенты и для параллельных прямых можно взять одинаковыми), после подстановки в него координат точки получить значение .

б) В качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор прямой : . Каноническое уравнение прямой : . Отсюда : . ►

Общее уравнение прямой (5.7) можно переписать в виде или (положив , )

, (5.8)

Уравнение (5.8) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Оно определяет прямую, образующую угол с положительным направлением оси (рис. 5.6) и пересекающую ось в точке . Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой можно также записать в виде

. (5.9)

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках и определяет прямую линию, пересекающую ось в точке и ось в точке (рис. 5.6).

Уравнение прямой, проходящей через две данные (несовпадающие) точки и (рис. 5.7), следует из канонического уравнения (5.5), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор и выбрать точку (или ):

или . (5.10)

Условием, при котором три точки плоскости , и лежат на одной прямой, является

.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и . Записать это уравнение в виде уравнения в отрезках и построить прямую.

◄ Используя (5.10), получаем уравнение искомой прямой: . Переписываем уравнение в форму уравнения в отрезках: . Из последнего уравнения имеем , . Прямая приведена на рис. 5.8. ►

Обозначив в каноническом уравнении (5.5) отношение через ( – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой:

(5.11)

Под углом между двумя пересекающимися прямыми и понимается угол, на который нужно повернуть прямую вокруг точки пересечения прямых по часовой стрелке до первого пересечения с прямой (рис. 5.9). Этот угол (или смежный с ним ) равен углу между направляющими векторами и прямых (рис. 5.9), т.е. (с точностью до знака)

. (5.12)

Угол между прямыми можно найти также при помощи их нормальных векторов и :

. (5.13)

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом , , то угол между ними можно определить по формуле

. (5.14)

Из этой формулы следует, что прямые параллельны при и перпендикулярны при ().

Пример. Найти угол между прямыми : и : .

◄ Используем формулу (5.13). По уравнениям прямых находим их нормальные векторы: , . Согласно (5.13) будем иметь . Отсюда , (смежные углы).

Используем также формулу (5.14). Преобразовав уравнения прямых в форму с угловым коэффициентом: : , : , получаем угловые коэффициенты , . Подставив значения коэффициентов в (5.14), получаем . Отсюда или .

Получен целый набор значений угла . Значения , полученные по формуле (5.13), являются на самом деле значениями углов между нормальными векторами прямых и, учитывая неоднозначность выбора этих векторов, неоднозначно определяют угол между прямыми с точки зрения их взаимного расположения на плоскости. Поэтому формулами (5.12) и (5.13) пользуются тогда, когда взаимное расположение прямых не имеет значения. Однозначное значение угла между прямыми с учетом направления поворота прямой вокруг точки пересечения получают по формуле (5.14). Таким образом, угол между данными прямыми (угол соответствует повороту прямой к прямой против часовой стрелки). ►