Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Она описывается уравнениями Даламбера (см. лекцию 2).

(13)

(14)

В комплексной форме эти уравнения записываются в виде:

(8.15)

(8.16)

Данные уравнения называются неоднородными уравнениями Гельмгольца. В случае, если источники, создающие волну, находятся за пределами рассматриваемой области уравнения (8.15), (8.16) (с учетом равенства ) принимают вид

(8.17)

(8.18)

Уравнения (8.17), (8.18) называются однородными уравнениями Гельмгольца. Поле рассматриваемой нами волны не зависит от координат х и у. Тогда уравнения (8.17) и (8.18) принимают вид

(8.17)

(8.18)

Решая уравнение для вектора , получаем

. (8.19)

Для анализа формулы (8.19) необходимо в параметре отделить действительную и мнимую части. Ограничимся рассмотрением случая, когда потери в среде обусловлены только ее проводимостью, т.е. будем считать, что , а , где – тангенс угла электрических потерь. Полагая = Re + i Im , получаем Re + i Im = .

Возводя в квадрат обе части последнего равенства и разделяя затем вещественную и мнимую части, приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно Re и Im :

; (8.20)

В результате получаем, что

. (8.21)

Так как ()² не может быть отрицательной величиной, то в формуле (8.21) нужно выбрать знак" +". Вводя обозначение

, (8.22)

получаем = ± β. Отметим, что β больше величины k в среде без потерь с теми же значениями ε и μ. Аналогично, обозначая

, (8.23)

получаем Im = ± α.

Из (8.20) видно, что Re и Im должны иметь разные знаки, т.е. возможны равенства = β – i α и = –β + i α. Следовательно, входящие в (8.19) функции exp (- i z) и exp (i z) могут быть записаны одним из двух способов: 1) exp(–α z)exp(– i β z) и 2) exp(α z)exp(i β z). Рассмотрим волну 1). В момент t = t₀ в точке z = z₀ фаза напряженности электрического поля, соответствующего этой волне, равна ψ = ω t₀ – β z₀.