Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. 1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом 1 с
1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом 1 с. Определить амплитуду колебаний, максимальные скорость и ускорение колеблющейся точки, если полная энергия точки равна 0, 02 Дж. Дано: m = 0, 01 кг, Т = 1 с, Е = 0, 02 Дж. Найти: А, vmax, amax. Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид
(1)
где s – смещение материальной точки от положения равновесия, А – амплитуда колебания, ω – циклическая частота, t - время, φ 0 – начальная фаза. Скорость материальной точки определяется как первая производная от смещения по времени: (2)
Максимальное значение скорости равно
(3)
Ускорение точки определяется как первая производная от скорости по времени: (4)
Максимальное значение ускорения равно
(5)
Полная энергия колебаний складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии: (6)
Из этого выражения найдем амплитуду колебаний
(7) Произведем вычисления, учитывая, что циклическая частота и период колебаний связаны соотношением Ответ: А = 0, 32 м, vmax = 2 м/с, amax = 12, 6 м/с2. 2. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности магнитного поля волны 0, 1 А/м. Определить энергию, переносимую этой волной через поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, за время t = 1 с. Период волны Т < < t. Дано: Hm = 0, 1 А/м, S = 1 м2, t = 1 с, Т < < t, ε = 1, μ = 1. Найти: W. Решение. Плотность потока энергии электромагнитной волны определяется вектором Пойнтинга
(1)
где Е и Н – векторы напряженности электрического и магнитного полей. Учитывая, что векторы Е и Н электромагнитной волны взаимно перпендикулярны, для модуля вектора р получим
р = ЕН. (2)
Так как величины Е и Н в каждой точке волны меняются со временем по гармоническому закону, находясь в одинаковых фазах, то мгновенное значение р равно (3)
Энергия, переносимая через площадку S, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени,
(4)
Учитывая, что в электромагнитной волне
(5) найдем: (6)
Тогда выражение (4) принимает вид (7)
Энергия, переносимая волной за время t, равна
(8)
По условию Т < < t, поэтому > > тогда
(9)
Подставляя числовые значения, получим Ответ: W = 1, 88 Дж. 3. Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1, 25, меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей толщине пленки отражение света с длиной волны 0, 72 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 60о? Дано: n = 1, 25, λ = 0, 72 мкм, i = 60о. Найти: dmin. Решение. Оптическая разность хода лучей, отраженных от нижней и верхней поверхности пленки, равна
(1)
где d – толщина пленки, n – показатель преломления пленки, i – угол падения лучей. В выражении (1) учтено, что отражение лучей на обеих поверхностях происходит от оптически более плотной среды, и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга. Условие интерференционного минимума имеет вид (2)
где λ – длина волны света. Подставляя (1) в (2) и учитывая, что выражение (1) положительно, получим
(3)
Из (3) найдем возможные значения толщины пленки: (4) Наименьшее значение толщины пленки будет при m = 1:
(5)
Подставляя в (5) числовые значения, получим Ответ: dmin = 0, 2 мкм. 4. Постоянная дифракционная решетка 10 мкм, ее ширина 2 см. В спектре какого порядка эта решетка может разрешить дублет λ 1 = 486, 0 нм и λ 2 = 486, 1 нм? Дано: с = 10 мкм, l = 2 см, λ 1 = 486, 0 нм, λ 2 = 486, 1 нм. Найти: m. Решение. Разрешающая способность дифракционной решетки
(1)
где Δ λ – минимальная разность длин волн двух спектральных линий λ и λ + Δ λ, разрешаемых решеткой; m – порядок спектра; N – число щелей решетки. Поскольку постоянная решетки с есть расстояние между серединами соседних щелей, общее число щелей можно найти как
(2) где l – ширина решетки. Из формулы (1) с учетом (2) находим:
(3)
Дублет спектральных линий λ 1 и λ 2 будет разрешен, если
(4)
Подставляя (3) в (4) и учитывая, что λ = λ 1, получим
(5)
Из выражения (5) следует, что дублет λ 1 и λ 2 будет разрешен во всех спектрах с порядком (6)
Подставляя числовые данные, получим Так как m – целое число, то m ≥ 3. Ответ: m ≥ 3. 5. Естественный свет падает на поверхность диэлектрика под углом полной поляризации. Степень поляризации преломленного луча составляет 0, 124. Найти коэффициент пропускания света. Дано: р’’ = 0, 124. Найти: τ. Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность,
I|| = I . (1)
где индексы || и обозначают колебания, параллельные и перпендикулярные плоскости падения света на поверхность диэлектрика, причем интенсивность падающего света
I = I|| + I . (2)
При падении света под углом полной поляризации отражаются только волны, поляризованные в плоскости, перпендикулярной плоскости падения. В преломленной волне преобладают колебания, параллельные плоскости падения. Интенсивность преломленной волны можно записать как
I” = I||” + I ”. (3)
Составляющие I||” и I ” интенсивности преломленной волны равны
I|| = I||” и I ” = I - I’, (4)
где I’ – интенсивность отраженного света. Степень поляризации преломленного луча
(5)
Учитывая равенства (4) и (1), выражение (5) можно представить в виде
(6)
Коэффициент пропускания света
(7) или, с учетом выражения (6), (8) Проводя вычисления, получим Ответ: τ = 0, 89. 6. Интенсивность естественного света, прошедшего через поляризатор, уменьшилась в 2, 3 раза. Во сколько раз она уменьшится, если за первым поставить второй такой же поляризатор так, чтобы угол между их главными плоскостями был равен 60о? Дано: I0/I1 = 2, 3; α = 60о. Найти: I0/I2. Решение. Естественный свет можно представить как наложение двух некогерентных волн, поляризованных во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющих одинаковую интенсивность. Идеальный поляризатор пропускает колебания, параллельные его главной плоскости, и полностью задерживает колебания, перпендикулярные этой плоскости. На выходе из первого поляризатора получается плоскополяризованный свет, интенсивность которого I1 с учетом потерь на отражение и поглощение света поляризатором равна
(1)
где I0 – интенсивность естественного света; k – коэффициент, учитывающий потери на отражение и поглощение. После прохождения второго поляризатора интенсивность света уменьшилась как за счет отражения и поглощения света поляризатором, так и из-за несовпадения плоскости поляризации света с главной плоскостью поляризатора. В соответствии с законом Малюса, учитывая потери на отражение и поглощение света, имеем
(2)
где α – угол между плоскостью поляризации света, которая параллельна главной плоскости первого поляризатора, и главной плоскостью второго поляризатора. Найдем, во сколько раз уменьшилась интенсивность света
(3) Из (1) имеем (4) Подставляя (4) в (3), получим (5) Проводя вычисления, найдем Ответ: I0/I2 = 10, 6. 7. Измерение дисперсии показателя преломления оптического стекла дало n1 = 1, 528 для λ 1 = 0, 434 мкм и n2 = 1, 523 для λ 2 = 0, 486 мкм. Вычислить отношение групповой скорости к фазовой для света с длиной волны 0, 434 мкм. Дано: λ 1 = 0, 434 мкм; n1 = 1, 528; λ 2 = 0, 486 мкм; n2 = 1, 523. Найти: u1 / v1. Решение. Зависимость групповой скорости u от показателя преломления n и длины волны λ имеет вид (1) где с – скорость света в вакууме. Фазовая скорость v определяется как
(2)
Разделив выражение (1) на (2), получим
(3)
Для длины волны λ 1 и средней дисперсии имеем
(4)
Подставляя в (4) числовые значения, получим
Ответ: u1 / v1 = 0, 973. 8. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в конусе с раствором 82о. Определить кинетическую энергию протонов. Показатель преломления каменной соли 1, 54. Дано: 2 θ = 82о; n = 1, 54. Найти: Т. Решение. Излучение Вавилова – Черенкова возникает, когда скорость движения v заряженной частицы в среде больше фазовой скорости света с / n в этой среде (с – скорость света в вакууме, n – показатель преломления среды). Излучение направлено вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением движения частицы. Угол θ между направлением излучения и направлением движения частицы определяется формулой
(1)
Кинетическая энергия релятивисткой частицы определяется как (2)
где Е0 = m0c2 – энергия покоя частицы; m0 – масса покоя. Для протонов Е0 = 989 МэВ. Отношение v / с определим из (1)
(3) Подставляя (3) в (2), получим (4) Проводя вычисления, найдем Ответ: Т = 900 МэВ. 9. Во сколько раз увеличится мощность излучения черного тела, если максимум энергии излучения сместится от красной границы видимого спектра к его фиолетовой границе? Дано: λ к = 0, 76 мкм; λ ф = 0, 38 мкм. Найти: Nф / Nк. Решение. Длина волны λ max, на которую приходится максимум энергии излучения черного тела, согласно закону смещения Вина, равна
λ max = (1)
где Т – термодинамическая температура тела; b – постоянная Вина. Из формулы (1) определяем температуру, при которой максимум энергии излучения приходится на красную λ к и фиолетовую λ ф границы видимого спектра: (2) Мощность излучения равна (3)
где R – энергетическая светимость тела; S – площадь его поверхности. В соответствии с законом Стефана – Больцмана
(4)
где σ – постоянная Стефана – Больцмана. Для температур Тк и Тф имеем
и (5) Из формул (5) находим
(6) или, учитывая (2), имеем (7)
Подставляя в (7) числовые значения, получим
Ответ: Nф / Nк = 16. 10. Давление света с длиной волны 0, 55 мкм нормально падающего на зеркальную поверхность равно 9 мкПа. Определить концентрацию фотонов вблизи поверхности. Дано: λ = щ, 55 мкм; р = 9 мкПа; ρ = 1. Найти: n. Решение. Давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ определяется по формуле
(1)
где I – интенсивность света; с – скорость света в вакууме; w – объемная плотность энергии излучения, w = I / c. Объемная плотность энергии w равна произведению концентрации фотонов n (числа фотонов в единице объема) на энергию одного фотона т.е. (2)
где h – постоянная Планка; λ – длина волны света. Подставляя (2) в (1), получим
(3) откуда (4) Проводя вычисления, найдем Ответ: n = 1, 25 ∙ 1013 м-3. 11. Красная граница фотоэффекта для никеля равна 0, 257 мкм. Найти длину волны света, падающего на никелевый электрод, если фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов, равной 1, 5 В. Дано: λ к = 0, 257 мкм; U = 1, 5 В. Найти: λ. Решение. Согласно уравнению Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
(1)
где h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны света; А – работа выхода электронов из металла; Тmax – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Красная граница фотоэффекта определяется из условия равенства энергии фотона работе выхода электронов А, т.е.
(2)
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов может быть определена через задерживающую разность потенциалов U:
(3)
где е – элементарный заряд (заряд электрона). Подставляя выражение (2) и (3) в (1), получим
(4)
Из уравнения (4) найдем длину волны света:
(5)
Подставляя в (5) числовые значения, получим Ответ: λ = 0, 196 мкм. 12. Гамма – фотон с длиной волны 1, 2 пм в результате комптоновского рассеяния на свободном электроне отклонился от первоначального направления на угол 60о. Определить кинетическую энергию и импульс электрона отдачи. До столкновения электрон покоился. Дано: λ 1 = 1, 2 пм; θ = 60о; λ с = 2, 43 пм; Е0 = 0, 511 МэВ = 0, 818 ∙ 10-13 Дж. Найти: Т, р. Решение. Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии на неподвижном свободном электроне равно
(1)
где λ 1 и λ 2 – длины волн падающего и рассеянного фотона; θ – угол рассеяния фотона; - комптоновская длина волны электрона; h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; m0 и Е0 – масса и энергия покоя электрона. Из уравнения (1) найдем
(2)
Выразим энергию падающего и рассеянного фотона через его длину волны:
(3)
Кинетическая энергия электрона отдачи согласно закону сохранения энергии равна (4)
Подставляя выражение (3) в (4), найдем
(5)
Проводя вычисления, получим Зная кинетическую энергию электрона, найдем его импульс. Поскольку кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, импульс и кинетическая энергия связаны релятивистским соотношением
(6)
Подставляя в (6) числовые данные, получим Ответ: Т = 0, 492 МэВ; р = 4, 6 ∙ 10-22 кг ∙ м/с.
|