Тренировочные задания. Тренировочные задания к разделу 1. Ответ/Решение 1

Тест

1. Каким по объему является понятие «стоимость»?

а – единичное

б – общее

в – пустое

2. Укажите, какие из приведенных ниже понятий выражает отношение рода и вида (находятся в отношении подчинения).

а – Европа, Англия

б – автомобиль, двигатель автомобиля

в – налог, налог на добавленную стоимость

г – импорт, экспорт

3. Укажите вид отношений между понятиями «самый молодой преподаватель вуза» и «самый старый преподаватель вуза».

а – соподчинение

б – противоречие

в – противоположность

г – подчинение

4. Какие из указанных понятий не находятся в отношении равнообъемности с понятием «сын».

а – мужчина

б – внук

в – отец

5. Установите, в каком из перечисленных случаев обобщение понятия произведено правильно.

а – секунда - минута - час

б – «Націянальная эканамічная газета» – газета – периодическое издание

в – осина - лиственное дерево - лес

г – студенческая группа - факультет– университет.

6. Установите, в каком из перечисленных случаев ограничение понятия произведено правильно.

а – город - европейский город - белорусский город - город Минск

б – гражданин Республики Беларусь - белорусский военнослужащий - участник боевых действий в Афганистане.

в – закон - экономический закон - декрет об обязательном страховании строений, принадлежащих гражданам.

г – офицер - капитан - сержант.

7. Какой из приведенных примеров представляет собой дихотомическое деление понятия.

а– понятия бывают общие, единичные и нулевые.

б – государственные налоги делятся на прямые и косвенные.

в – гражданский иск может быть направлен на возврат имущества, возмещение убытков, уплату неустойки, устранение препятствий к пользованию имуществом, уплату алиментов.

г – периодические издания делятся на газеты, журналы, бюллетени и периодические сборники.

8. Какая ошибка допущена в следующем определении: «Барометр – метеорологический измерительный прибор»?

а – широкое определение

б – узкое определение

в – перекрещивающееся определение

г – ошибка «определить «как попало»»

д – круг в определении

9. Какая ошибка допущена в следующем определении: «Медицина – наука, изучающая человеческие болезни»?

а – широкое определение

б – узкое определение

в – перекрещивающееся определение

г – ошибка «определить «как попало»»

д – круг в определении

10. Какая ошибка допущена в следующем определении: «Логика – это наука о правильном мышлении, а правильное мышление – это мышление, протекающие в соответствии с законами логики»?

а – широкое определение

б – узкое определение

в – перекрещивающееся определение

г – ошибка «определить «как попало»»

д – круг в определении

Раздел 2. Суждение.

2. 1. Общая характеристика суждения.

Суждения выражаются при помощи повествовательных предложений или риторических вопросов. Вопросительные и побудительные предложения суждений не выражают.

Важнейшей логической характеристикой суждения является его истинностное значение. Суждение может быть истинным, либо ложным. Термины ’’истинно’’, ’’ложно’’ называются значениями истинности.

Суждения бывают простые и сложные. Простое суждение содержит в себе только одно, а сложное суждение – несколько утверждений или отрицаний. Суждения делятся на три вида: атрибутивные, суждения с отношениями и суждения существования (экзистенциальные).

В составе простых атрибутивных суждений выделяют два понятия (субъект и предикат), связку и кванторные слова.

Субъект (обозначается латинской буквой S) – это понятие о предмете суждения, т.е. понятие, представляющее предметы, о которых в суждении говорится. Предикат суждения (обозначается латинской буквой Р) – это то, что утверждается или отрицается о предмете суждения. Субъект и предикат называются терминами суждения. Связка соединяет субъект и предикат. Существует два типа связок: ’’есть’’ или ’’не есть’’. Связка указывает, свойственно либо не свойственно предмету суждения содержание, мыслимое в предикате. Соответственно, связка ’’есть’’ называется утвердительной, а связка ’’не есть’’ – отрицательной.

Кванторные слова ’’все’’ (’’каждый’’, ’’любой’’, ’’ни один’’, ’’всякий’’ и пр.), ’’некоторые’’ (’’отдельные’’, ’’многие’’, ’’большинство’’, ’’встречаются’’, ’’существуют’’ и пр.). Слово ’’все’’ (и т.п.) выражает квантор общности, слово ’’некоторые’’ (и т.п.) – квантор существования. Кванторное слово указывает, относится ли предикат ко всему объему субъекта, или только к его части.

По качеству суждения делятся на утвердительные и отрицательные. Утвердительными считаются те суждения, в которых говорится о принадлежности субъекту суждения признака, выраженного предикатом. Структура -- ’’S есть Р’’. В отрицательных суждениях говорится об отсутствии у субъекта признака, выраженного предикатом. Структура отрицательного суждения ’’S не есть Р’’.

По количеству суждения делятся на общие, частные и единичные. Общие суждения – это такие суждения, в которых что-то утверждается или отрицается обо всем объеме субъекта. Структура: -- ’’Все S есть (не есть) Р’’. В частных суждениях что-то утверждается или отрицается о некоторой части объема субъекта. Структура: -- ’’Некоторые S есть (не есть) Р’’. В единичных суждениях речь идет о принадлежности или непринадлежности признака одному предмету. Структура единичного суждения ’’Это S есть (не есть) Р’’.

Существует также классификация суждений, в которой учитываются как их качественные, так и количественные характеристики. В этом случае выделяют четыре группы суждений:

1. – общеутвердительные (т.е. общие по количеству и утвердительные по качеству). Структура: -- ’’Все S есть Р’’. Обозначаются символом А или формулой S а Р.

2. – частноутвердительные (т.е. частные по количеству и утвердительные по качеству).’’Некоторые S есть Р’’. Обоначаются символом I или формулой S i Р.

3. – общеотрицательные (т.е. общие по количеству и отрицательные по качеству).’’Ни одно S не есть Р’’. Для обозначения используется символ Е или формула S е Р.

4. – частноотрицательные (т.е. частные по количеству и отрицательные по качеству).’’Некоторые S не есть Р’’. Для их обозначения используется символ О или формула S о Р.

В данной классификации не представлены отдельно единичные суждения, которые приравниваются к общим суждениям, поскольку и те, и другие суждения высказываются обо всем объеме субъекта....Для общих это верно по определению, а для единичных также очевидно в силу того, что в них в объем субъекта входит только один предмет, а следовательно, предикат в таких суждениях может высказываться только обо всем объеме субъекта.

2.2. Распределенность терминов в суждении.

При проверке правильности умозаключений, построенных из простых категорических суждений, важно учитывать, во всем ли объеме берется термин в данном суждении или не во всем. Исходя из этого, можно говорить о распределенности, либо о нераспределенности термина в суждении.

Термин считается распределенным, если его объем полностью входит в объем другого термина или полностью исключается из него, т.е. в суждении идет речь о всех предметах, охватываемых этим термином. Другими словами, термин рассматривается в данном суждении во всем объеме.

Термин не распределен, если его объем частично входит в объем другого термина или частично исключается из него, т.е. в суждении говорится не о всех (а лишь о некоторых) предметах, охватываемых этим термином. Можно еще сказать, что в таком случае термин не рассматривается во всем объеме. При установлении распределенности терминов суждения удобно использовать круговые схемы, показывающие соотношение объемов субъекта и предиката.

Заштрихованная поверхность на этих схемах соответствует классу предметов, к которым непосредственно относится утверждение. Рассмотрим общеутвердительное суждение: «Все металлы электропроводны». S - понятие «металлы», Р - понятие «электропроводные материалы». Соотношение объемов S и Р передает следующая схема:

В данном суждении речь идет о всех металлах, т.е. объем субъекта полностью включен в объем предиката. Следовательно субъект распределен. Что касается предиката, то понятие ’’электропроводной материал’’ не рассматривается в суждении во всем объеме, т.е. лишь некоторые электропроводные материалы являются именно металлами. Объем предиката частично включен в объем субъекта, следовательно, предикат не распределен. Эту ситуацию можно интерпретировать еще и так: в данном суждении дается информация обо всем объеме субъекта и лишь о части объема предиката.

Теперь проанализируем еще один пример общеутвердительного суждения: ’’Все квадраты – равносторонние прямоугольники’’. Субъектом в данном случае является понятие ’’квадрат’’, предикатом – ’’равносторонний прямоугольник’’. Соотношение их объемов передает следующая схема:

В данном суждении речь идет о всех квадратах и обо всех равносторонних прямоугольниках, следовательно, и S и Р являются распределенными.

2) Возьмем пример частноутвердительного суждения (I): ’’Некоторые студенты проживают в общежитии’’. S – ’’студент’’, Р – ’’лицо, проживающее в общежитии’’.

В данном суждении говорится лишь о части студентов и о части лиц, проживающих в общежитии, т.е. объемы терминов суждения частично совпадают. Это означает, что оба термина не распределены.

Рассмотрим еще одно частноутвердительное суждение: ’’Некоторые врачи – хирурги’’. Отношение объемов S и Р в этом примере соответствуют следующей схеме:

Объем субъекта в этом примере лишь частично входит в объем предиката, т.е. речь идет только о некоторой части врачей. А вот предикат взят в полном объеме, ибо все хирурги являются врачами. Таким образом, S не распределен, а предикат – распределен.

3) Общеотрицательное суждение (Е). Пример: ’’Ни одна картина этого мастера не сохранилась до наших дней’’. S – ’’картина этого мастера’’, Р – ’’картина, которая сохранилась до наших дней’’. Объемы терминов суждения находятся в отношении внеположности:

S Р

Объемы терминов суждения в данном случае полностью исключают друг друга, т.е. не имеют общих элементов. Речь идет обо всем множестве S и обо всем множестве Р (Ни одна картина, сохранившаяся до наших дней, не принадлежит данному мастеру). Это позволяет сделать вывод, что оба термина в общеотрицательных суждениях распределены.

4) Частноотрицательное суждение (О). В высказываниях этого вида говорится, что часть множества S не включается в множество Р. Например: ’’Некоторые студенты не проживают в общежитии’’. Отношения между объемами S и Р передает следующая схема:

S Р

Субъект («студент») не распределен, т. к. речь идет лишь о части студентов. Предикат же («лицо проживающее в общежитии») распределен, ибо в нем мыслятся все лица проживающие в общежитии, ни одно из которых не включено в ту часть студентов о которой ид5ет речь в данном суждении.

Распределенность терминов в суждениях А, У, Е, О отражена в следующей таблице где знак ’’+’’ означает, что термин распределен, а знак ’’–’’ – не распределен.

2. 3. Отношения между суждениями по истинности.

Между простыми суждениями, имеющими одни и те же термины и различающимися по качеству или количеству (сравнимыми суждениями) возможны различные отношения, в которых фиксируется определенная зависимость истинностного значения одного суждения от истинностного значения другого суждения. Выделяют отношения совместимости и отношения несовместимости. Если сравнимые суждения могут быть одновременно истинными, то они называются совместимыми. Несовместимыми называются такие сравнимые суждения, которые не могут быть одновременно истинными.

Совместимость бывает трех видов: эквивалентность (равносильность), подчинение, частичное совпадение (субконтрарность). Отношения несовместимости подразделяются на противоположность (контрарность) и противоречие (контрадикторность). Указанные виды отношений принято изображать в виде схемы – логического квадрата.

А Е

I O

Логический квадрат позволяет легче запоминать различные отношения, которые существуют между суждениями А, I, Е, О. На этой схеме буквы, обозначающие виды суждений (А, I, Е, О) помещаются в углах квадрата. Стороны и диагонали представляют собой отношения между суждениями. Не обозначены особо здесь лишь отношения эквиваленции. Теперь рассмотрим каждое из этих отношений.

Эквиваленция. Сравнимые суждения считаются эквивалентными, если они всегда принимают одинаковые логические значения. Эквивалентными будут суждения, которые выражают одну и ту же мысль в различной форме. Например: ’’Автор романа ’’Война и мир’’ родился в 1928 году’’, ’’Л.Н. Толстой родился в 1928 году’’. В этих эквивалентных высказываниях субъекты выражены различными по форме, но равнообъемными понятиями. Эквивалентными будут также такие два суждения, одно из которых представляет собой отрицание суждения, противоречащего другому суждению. Например, суждение ’’Все врачи имеют медицинское образование’’ будет эквивалентно суждению ’’Неверно, что некоторые врачи не имеют медицинского образования’’.

Подчинение. В отношении подчинения находится суждение А и I, а также Е и О. Суждение А является подчиняющим по отношению к суждению I, которое рассматривается как подчиненное. Соответственно, Е – подчиняющее, а О – ему подчиненное. Отношения подчинения характеризуются тем, что: 1) из истинности подчиняющего суждения следует с необходимостью истинность подчиненного; 2) из ложности подчиненного вытекает ложность подчиняющего; 3) из истинности подчиненного не следует истинность подчиняющего; 4) из ложности подчиняющего не следует ложность подчиненного.

Частичное совпадение (субконтрарность). Данный вид отношения существует между частноутвердительными (I) и частноотрицательными (О) суждениями. Оба этих суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Если одно из них ложно, то другое непременно истинное. Если же одно из этих суждений истинно, то на этом основании определить значение другого суждения нельзя. Оно может оказаться как истинным, так и ложным.

Противоречие. В отношении противоречия находятся сужения, соединенные диагоналями логического квадрата, т.е. А и О, а также Е и I. Противоречащие суждения не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными. Они всегда имеют разные значения истинности. Если одно из них истинно, то другое непременно ложно, и наоборот.

Противоположность. Это отношение существует между общеутвердительными (А) и общеотрицательными (Е) суждениями. Эти суждения не могут быть одновременно истинными, но они могут быть одновременно ложными. Если одно из противоположных суждений ложное, мы не можем на этом основании установить истинностное значение другого (другое суждение может быть как истинным, так и ложным).

2. 4. Сложные суждения.

Сложным называется суждение, состоящее из нескольких простых суждений, соединенных с помощью логических союзов (связок). При анализе сложных суждений не учитывается внутренняя структура исходных простых суждений, последние в данном случае рассматриваются как элементарные (нечленимые) единицы суждения. В схемах сложных суждений для представления простых суждений используют пропозициональные переменные (р, q, r, s и т.д.) Логические особенности сложного суждения зависят от того, при помощи какого союза связаны между собой простые суждения, входящие в его состав. Сразу обратим внимание на то, что речь идет именно о логических (а не грамматических) союзах. Это означает, что логические союзы имеют свои свойства, которые далеко не совпадают со свойствами грамматических союзов.

Важнейшими логическими союзами являются:

’’и’’ – соединительный союз (специальный термин – конъюнкция);

’’или’’ – соединительно-разделительный союз (нестрогая дизъюнкция);

’’либо…, либо’’ – исключающе-разделительный союз (строгая дизъюнкция);

’’если…, то’’ – условный союз (импликация);

’’если и только если…, то’’ – равносильность (эквиваленция);

Основные логические союзы принято обозначать символами. Однако однообразного подхода к применению символов у представителей логической науки не выработалось. Одни и те же логические союзы различные авторы обозначают по-разному.

СОЮЗ	ОБОЗНАЧЕНИЯ
конъюнкция	L (&; ×)
нестрогая дизъюнкция	V
строгая дизъюнкция	V (V)
импликация	® (É)
эквиваленция	«(º)

Каждый из этих союзов образует особый вид сложных суждений. Сложные суждения в логике рассматриваются только с точки зрения их истинностных значений. Каждая логическая связка выражает особую функцию, которая определяет зависимость логического значения сложного суждения от истинности составляющих его простых суждений. Определить специфику того или иного вида сложных суждений – это значит ответить на вопрос, каким образом его истинность или ложность (логическое значение) зависит от логических значений тех простых суждений, из которых состоит это сложное суждение.

Смысл логических союзов наиболее четко выражают так называемые таблицы истинности.Каждая таблица имеет входные столбцы и выходной столбец. На входе записываются все комбинации логических значений простых суждений, из которых образовано сложное суждение. В выходном столбце указывается значение сложного суждения. Условимся при этом символом ’’1’’ обозначать истинность суждения, а символом ’’0’’ – ложность. Выраженная в следующей таблице зависимость называется табличным определением логических связок.

Таб. 3

Конъюнкция – это такое объединение простых суждений, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны все простые суждения в его составе. Не- строгой дизъюнкцией называется такое сложное суждение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинным будет хотя бы одно простое суждение в его составе. Строгой дизъюнкцией называется сложное суждение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно лишь одно из простых суждений в его составе. Импликацией суждений p и q называется суждение, обозначаемое выражением p=> q (р – антецедент, q – консеквент), которое ложно тогда и только тогда, когда р истинно, а q – ложно. Эквиваленцией суждений р и q называется суждение, обозначаемое выражение p< => q, которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения р и q совпадают.

Теперь рассмотрим под данным углом зрения перечисленные выше виды сложных суждений.

Конъюнкция. Суждения, образованные путем соединения двух или нескольких простых суждений логическим союзом ’’и’’, называются соединительными или конъюнктивными. Рассмотрим пример. ’’В коммерческом киоске разбито стекло и похищены товары’’. Это сложное суждение образовано из двух простых: ’’В коммерческом киоске разбито стекло’’ (Обозначим его переменой р); ’’В коммерческом киоске похищены товары’’ (q). В символической записи схема данного сложного суждения будет выглядеть так: pLq (читается: р и q). В двучленной конъюкции (т.е. состоящей из двух простых суждений) имеется четыре комбинации истинностных значений простых суждений: 1) р и q истинны; 2) р – истинно, q -- ложно; 3) р – ложно, q -- истинно; 4) оба суждения ложны.

Отразим эти варианты в таблице истинности:

Теперь необходимо заполнить выходной столбец, учитывая при этом сочетания логических значений простых суждений в каждой из четырех строчек.

Рассмотрим первую строчку. В ней отражена ситуация, когда и суждение р, и суждение q истинны. Применительно к нашему примеру это означает, что в коммерческом киоске действительно разбито стекло, и что в коммерческом киоске действительно похищены товары. В этом случае сообщение в милицию: ’’В коммерческом киоске разбито стекло и похищены товары’’ (pLq) будет истинным. Следовательно, в первой строчке выходного столбца необходимо поставить 1. Переходим ко второй строчке. Суждение р в данном случае истинное, а суждение q -- ложное. Если же владелец киоска, вызывая милицию, будет по-прежнему утверждать: ’’В коммерческом киоске разбито стекло и похищены товары’’, то его заявление нельзя расценить, как соответствующее действительности, т.е. как истинное. (Не лишним будет вспомнить в данном случае русскую пословицу о влиянии ложки дегтя на бочку меда). Аналогичным образом можно проанализировать и третью строчку. Если суждение р ложно (т.е. в действительности стекло коммерческого киоска не разбито), а суждение q -- истинно, то поступившая в милицию информация о том, что разбито стекло и похищены товары, будет ложной. В случае, когда и суждение р, и суждение q ложны (четвертая строчка), ни о каком соответствии действительности суждения ’’В коммерческом киоске разбито стекло и похищены товары’’ не может быть и речи. Оно будет ложным.

Таким образом таблица истинности конъюнктивного суждения оказалась заполненной:

Выявившуюся в таблице функциональную зависимость можно интерпретировать так: конъюнктивное суждение истинно тогда и только тогда, когда истинны все простые суждения в его составе. Если грамматический союз ’’и’’ имеет массу смысловых оттенков, то конъюнкция (логический союз ’’и’’) указывает лишь на одно: все простые суждения, входящие в состав сложного суждения полагаются истинными. Конъюнкция может быть представлена различными союзами (’’а’’, ’’но’’, ’’да’’, ’’тогда как’’, ’’несмотря на то, что’’), запятой и т.д. Общим во всех случаях будет одно: связывая таким образом два суждения обычно хотят показать, что описываемые в каждом из них факты равным образом имеют место, т.е. что оба исходных суждения истинны. С этой точки зрения пропозициональная связка ’’и’’ может быть истолкована как союз соистинности суждений. Итак, конъюнкция – это такое объединение простых суждений, которое предполагает одновременную истинность каждого из них.

Нестрогая дизъюнкция (слабая дизъюнкция).Этот вид дизъюнкции образуется путем соединения простых суждений союзом «или» в соединительно-разделительном его значении. Структуру этого вида суждений передает формула pVq (читается: ’’р или q’’). Рассмотрим пример: ’’Предприятие увеличило рентабельность за счет повышения производительности труда (р) или путем снижения себестоимости продукции(q)’’. При условии, что на предприятии имеет место повышение производительности труда (т.е. суждение р истинное) и имеет место снижение себестоимости продукции (т.е. суждение q истинное), рентабельность предприятия будет увеличиваться, (т.е. данное сложное суждение окажется истинным). Истинным данное суждение будет и в тех случаях, когда предприятие использовало какой-то один из указанных путей увеличения рентабельности (т.е. р – истинное, а q -- ложное, либо, наоборот, р – ложное, q -- истинное). Но если окажется, что предприятие, проигнорировав эти две возможности, для увеличения рентабельности использовало некий иной фактор (т.е. и суждение р ложно, и суждение q ложно), то наше утверждение, что предприятие увеличило рентабельность за счет повышения производительности труда или путем снижения себестоимости продукции, окажется ложным. Отразим теперь эти выводы в таблице истинности нестрогой дизъюнкции.

Нестрогая дизъюнкция истинна, если истинным будет хотя бы одно простое суждение в ее составе.

Строгая дизъюнкция. Этот вид сложных суждений выражается формулой pVq (читается: либо р, либо q). Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда истинно только одно простое суждение в ее составе. Иначе говоря, строгая дизъюнкция – это такое объединение простых суждений, которое допускает истинность только какого-то одного из них и предполагает ложность всех остальных.

Рассмотрим примеры. ’’На лифте можно ехать либо вверх, либо вниз’’. ’’Финальный матч по футболу пройдет либо на стадионе ’’Динамо’’, либо на стадионе ’’Трактор’’. ’’Монета может упасть вверх либо гербом, либо решкой’’. Анализ этих примеров убеждает нас в том, что ситуации, отраженные в каждой паре простых высказываний, не могут иметь место одновременно. Иначе говоря, строгая дизъюнкция (в отличие от нестрогой) исключает вариант, когда несколько суждений истинны. Именно таким критерием следует пользоваться на практике при определении вида дизъюнкции, так как только по союзу это сделать можно не всегда. Союз ’’или’’ в речевой практике употребляется не только в соединительном, но и в строго разделительном значении. Например: ’’Футбольный матч заканчивается победой одной из команд или ничьей’’.

Импликация (условное суждение). Суждения этого вида выражают связь основания и следствия. В них утверждается, что наличие одной ситуации (основания) обуславливает наличие другой (следствия). Условное суждение говорит, что вслед за одним событием, состоянием и т.п., рассматриваемым как основание, обязательно должно последовать второе. Ни о чем большем условное (импликативное) суждение не говорит. Структура условного суждения выражается формулой p®q (читается: если р, то q). Соответственно первая часть условного суждения (в нашем случае – р) называется основанием, а другая часть (в нашем случае q) – следствием.

Рассмотрим пример. ’’Если в обращении появляется избыток денег, то они обесцениваются’’. В этом суждении утверждается, что достаточным условием обесценивания денег является избыточная эмиссия. Это надо понимать так, что появление избытка денег в обращении не может не привести к их обесцениванию. В то же самое время это не означает, что нет других причин обесценивания денег. Факт обесценивания денег еще не позволяет с полной уверенностью заявить, что имела место избыточная эмиссия. Следовательно, данное суждение ложным оказалось бы только в том случае, когда в обращении появился избыток денег (суждение р – истинное), а их обесценивания не произошло (q -- ложное). Условное суждение ложно, если в нем неправильно отражена условная зависимость одного явления от другого. Табличное определение импликации выглядит следующим образом:

Чаще всего импликация передается с помощью грамматического союза ’’если…, то…’’. Но возможны и иные способы оформления импликации: ’’При условии плохой видимости полеты самолетов отменяются’’; ’’Будет возможность – прочитай эту книгу’’; ’’Когда в товарищах согласья нет, на лад их дело не пойдет’’; ’’Поскольку призывник имеет серьезные отклонения в здоровье, он освобождается от службы в армии’’; ’’Назвался груздем – полезай в кузов’’; ’’Сказал ’’а’’ – говори ’’б’’. Вместе с тем, грамматический союз ’’если…, то…’’ может и не выражать импликацию. Когда его используют в сопоставительном смысле (’’Если студенты второго курса в должной мере владеют навыками самостоятельной работы с книгой, то у студентов первого курса имеется еще много проблем в данном отношении’’), то он выражает не импликацию, а конъюнкцию.

Эквиваленция. В суждениях эквивалентности утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций. Например: ’’если треугольник равноугольный, то он и равносторонний’’. (Точно так же мы можем утверждать, что ’’Если треугольник равносторонний, то он и равноугольный’’).Суждения эквиваленции обозначается выражением p«q (читается: ’’р тогда и только тогда, когда q’’; ’’р эквивалентно q’’). Эквиваленция может передаваться также оборотами ’’только при условии…’’, ’’лишь в случае…’’ и т.д. Сравнивая эквиваленцию с импликацией, нетрудно заметить определенное сходство. В речи суждение эквиваленции может быть выражено таким же образом, как и импликация. Существенным отличием эквиваленции является то, что в ней отношение между ее членами носит характер необходимой и достаточной зависимости. Основание в них выражает необходимое и достаточное условие для ситуации, описываемой следствием. А событие, описываемое следствием, в свою очередь, является необходимым и достаточным условием для события, описываемого основанием. Фактически, в суждениях эквиваленции стирается четкая грань, разделяющая основание и следствие. В импликативном же суждении поменять местами основание и следствие нельзя. Проиллюстрируем сравнение импликации и эквиваленции с помощью следующих примеров.

Возьмем условное суждение ’’Если число делится на 10 (р), то оно делится и на 5 (q)’’. Это суждение истинное. Если же поменять местами основание и следствие (q®p), то получится ложное суждение ’’Если число делится на 5, то оно делится и на 10’’. Теперь рассмотрим суждение эквиваленции ’’Если завтра вторник, то сегодня понедельник’’. Поменяв местами основание и следствие, получим следующее суждение ’’Если сегодня понедельник, то завтра будет вторник’’.

Выявленная особенность эквиваленции позволяет рассматривать этот вид сложных суждений (p«q) как конъюнкцию двух импликаций, прямой и обратной ((p®q) L(q®p)). Поэтому эквиваленцию еще называют двойной импликацией. Эквиваленция бывает истинной только тогда, когда логические значения простых суждений в ее составе совпадают.

Между различными логическими союзами существует определенная взаимосвязь, позволяющая, в частности, заменять одни союзы другими без ущерба для смысла суждений. Любой логический союз выразить при помощи других союзов (в иных случаях для этого приходится использовать также отрицание). Равносильность, позволяющая заменять одну формулу другой, определяется сопоставлением таблиц истинности этих формул. Формулы с одинаковыми переменными и разными логическими союзами считаются равносильными, если их логические значения при одинаковых значениях наборов переменных полностью совпадают. Так, например, импликацию p®q можно выразить через дизъюнкцию и отрицание: p^-V q. (p®q) º (p Vq)

Для того, чтобы убедиться в равносильности этих формул, сравним их таблицы истинност:

p	q	p®q	p	p V q

Из таблицы видно, что в каждой строчке значение истинности формулы pVq такое же, как и значение истинности формулы p®q. Именно это и позволяет считать данные формулы равносильными. Импликацию можно также эквивалентно выразить в виде конъюнкции: (p®q) º (p L q). Конъюнктивное суждение pLq можно эквивалентно выразить в виде дизъюнктивного суждения p V q, а также в виде импликативного суждения p®q. Дизъюнктивное суждение p V q равносильно конъюнктивному pLq и равносильно импликативному p®q.

Назовем еще некоторые равносильности:

(p V q) º ((p V q) L(p V q))

(p L(q V r)) º (pLq) V(pLr))

(p V(q L r)) º ((p V q) L (p V r))

(а L b) º (a V b)

(a V b) º (a L b)

Знание равносильностей позволяет взаимозаменять высказывания различных форм (причем смысловое их сходство с первого взгляда может быть не всегда очевидным). Благодаря этому можно выбрать вариант, который в определенном контексте окажется наиболее предпочтительным. Использование равносильностей позволяет также упростить сложные выражения, устранить тем самым избыточную информацию. Это, в свою очередь, способствует более глубокому осмыслению высказываний.