Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

Задача 1. Найти кривую, проходящую через точку , зная, что отрезок любой касательной к ней, заключённый между осями координат, делится в точке касания пополам.

Пусть произвольная точка кривой . Для определённости расположим кривую в первой координатной четверти (Рис. 4). Согласно геометрическому смыслу первой производной имеем: . Из треугольника .

С другой стороны .

По рисунку

Тогда или получим дифференциальное уравнение с начальным условием .

Рис. 4

Задача 2. Гармонический осциллятор.

Рассмотрим две модели гармонического осциллятора.

1. Гармонический осциллятор с вязким трением под воздействием силы (Рис. 5). Его характеристики: – масса, – жёсткость пружины, – вязкость демпфера.

По второму закону Ньютона:

Пусть точка отвечает ненапряжённому состоянию пружины. Тогда , , . Получаем дифференциальное уравнение

Рис. 5 Гармонический осциллятор с вязким трением под воздействием силы

2. Гармонический осциллятор с вязким трением под воздействием смещения (Рис. 6). Его характеристики: – масса, – жёсткость пружины, – вязкость демпфера.

По второму закону Ньютона:

Пусть точка отвечает ненапряжённому состоянию пружины. Тогда , , . Получаем дифференциальное уравнение

Рис. 6 Гармонический осциллятор с вязким трением под воздействием смещения