ПРИМЕР 12.1 ____

Обозначим значения переменной для одной выборки X, а для другой выборки— Y и упорядочим значения обеих выборок по возрастанию.

Значения одной выборки распределены явно не равномерно среди значений дру­гой выборки: значения выборки Y преобладают на правом конце объединенного ряда. Однако критерий серий не позволяет обнаружить статистически значимые различия: всего серий в данном случае W= 8 и при т = п = 8 эта величина не выхо­дит за пределы критических значений для α = 0, 05 (приложение 5).

Формально, критерий U — это общее число тех случаев, в которых значе­ния одной группы превосходят значения другой группы, при попарном срав­нении значений первой и второй групп. Соответственно, вычисляются два значения критерия: U_х и U_у,

Для вычислений «вручную» используются следующие формулы:

где п — объем выборки Х; т — объем выборки Y, R_x и R_у — суммы рангов для X и Y в объединенном ряду, В качестве эмпирического значения критерия бе­рется наименьшее из U_х и U_у, Чем больше различия, тем меньше эмпирическое значение U.

Поскольку критерий V отражает степень совпадения (перекрещивания) двух рядов значений, то значение р~уровня тем меньше, чем меньше значение U. При расчетах «вручную» используют таблицы критических значений крите­рия U-Манна-Уитни (приложение 9).

ПРИМЕР 12.1 (продолжение)

Проверим гипотезу о различии выборок X(численностью т = 8) и Y (численно­стью п — 8) на уровне α = 0, 05:

Шаг 1. Значения двух выборок объединяются в один ряд, упорядоченный в поряд­ке возрастания или убывания. Обозначается принадлежность каждого значения к той и другой выборке (строки 1 и 2).

Ш а г 2. Значения выборок ранжируются, и выписываются отдельно ранги для од­ной и другой выборки (строки 3—5).

Ш а г 3. Вычисляются суммы рангов по Х(R_x) и по Y(R_y): R_х = 46; R_у = 90.

Ш а г 4. Вычисляются U_х и U_у по формуле 12.1

Ш а г 5. Определяется р-уровень значимости; наименьшее из (/сравнивается с таб­личным (приложение 9) для соответствующих объемов выборки т = 8 и п ~ 8. Зна­чение р < 0, 05 (0, 01), если вычисленное U_эмп ≤ U_табл. В нашем случае наименьшим является U_y= 10, которое и принимается за эмпирическое значение критерия. Оно меньше критического для р — 0, 05 (U= 13), но больше критического для р = 0, 01 (U =7). Следовательно, р< 0, 05.

Ш а г 6. Принимается статистическое решение и формулируется содержательный вывод. На уровне α = 0, 05 принимается статистическая гипотеза о различии X и Y по уровню выраженности признака. Уровень Y статистически достоверно выше уров­ня X(р< 0, 05).

Замечание. Связи в рангах для вычислений «вручную» не предусмот­рены. Хотя они и незначительно влияют на результат, но если доля одинако­вых рангов по одной из переменных велика, то предлагаемый алгоритм не­применим, пользуйтесь компьютерной программой (SРSS, Statistica).

Обработка на компьютере: