Пример 10. 4

Предположим, для каждого из 12 учащихся одного класса известно время решения тестовой арифметической задачи в секундах (X) и средний балл отметок по мате­матике за последнюю четверть (Y). При подсчете τ -Кендалла были получены сле­дующие результаты: Р= 18; Q = 48; τ = —0, 455. Проверим гипотезу о связи времени решения тестовой задачи и среднего балла отметок по математике.

Ш а г 1. Вычисляем эмпирическое значение критерия

Шаг 2. По таблице «Стандартные нормальные вероятности» (приложение 1) на­ходим ближайшее меньшее, чем r_э, теоретическое значение z_T и площадь справа от этого z_T.: z_т — 1, 98; площадь справа Р =0, 024.

Ш а г 3. Вычисляем р-уровень по формуле р< 2Р; р< 0, 048.

Ш а г 4. Принимаем статистическое решение. Нулевая гипотеза об отсутствии свя­зи в генеральной совокупности отклоняется на уровне α = 0, 05.

Ш а г 5. Формулируем содержательный вывод. Обнаружена отрицательная связь между временем решения тестовой арифметической задачи и средним баллом отме­ток по математике за последнюю четверть (τ =-0, 455; N=12; р< 0, 048). Величина корреляции показывает, что при сравнении испытуемых друг с другом более высокий средний балл будет сочетаться с меньшим временем решения за­дач чаще, чем в 70% случаях, так как вероятность инверсий Р(q) = (1 —τ)/2 = (1+0, 455)/2 = 0, 728.

(Отметим, что при вычислении τ -Кендалла по этим данным на компьютере были получены следующие результаты: τ = —0, 455; р = 0, 040.)

Сравнение r-Спирмена и τ -Кендшма. Интерпретация r-Спирмена аналогична интерпретации r-Пирсона. Квадрат и того, и другого коэффициента корреля­ции (коэффициент детерминации) показывает долю дисперсии одной пере­менной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. τ -Кендалла имеет другую интерпретацию: это разность вероятностей совпадений и инверсий в рангах. Кроме того, по величине τ -Кендалла можно судить о ве­роятности совпадений Р(р) — (1 + τ)/2 или инверсий Р(q) = (1 — τ)/2.

Для одних и тех же данных величина r-Спирмена всегда больше, чем τ -Кендалла, исключая крайние значения 0 и 1. Это отражает тот факт, что τ -Кендалла зависит от силы связи линейно, а r-Спирмена — не линейно. В то же время лля одних и тех же данных р-уровень τ -Кендалла и r-Спирмена примерно одина­ков, а иногда τ -Кендалла имеет преимущество в уровне значимости.

Замечания к применению. Если связь (статистически достоверная) не обна­ружена, но есть основания полагать, что связь на самом деле есть, то следует сначала перейти от r-Спирмена к τ -Кендалла (или наоборот), а затем прове­рить другие возможные причины недостоверности связи.

1. Нелинейность связи: просмотреть график двумерного рассеивания. Если связь не монотонная, то делить выборку на части, в которых связь мо­нотонная, или делить выборку на контрастные группы и далее сравни­вать их по уровню выраженности признака.

2. Неоднородность выборки: просмотреть график двумерного рассеивания. Попытаться разделить выборку на части, в которых связь может иметь разные направления.

Если связь статистически достоверна, то прежде, чем делать содержатель­ный вывод, следует исключить возможность наличия «ложной» корреляции, как следствия влияния третьей переменной (см. Замечания к применению метрических коэффициентов корреляции).