Число градаций больше двух

По сравнению с анализом классификации, специфика применения критерияχ ²-Пирсона (формула 9.1) к таблицам сопряженности заключается в том, что теоретические частоты рассчитываются отдельно для каждой ячейки таблицы. Таким образом, число слагаемых в формуле 9.1 равно количеству ячеек таблицы сопряженности и равно P =k∙ l, где k—число строк, l—число столбцов:

Формула для расчета теоретической частоты для ячейки i-строки и j-столбца:

гдеf_i — сумма частот во всех ячейках i-строки; f_j — сумма частот во всех ячейках j-столбца; N— сумма частот всей таблицы сопряженности.

ПРИМЕР 9.4 _________________________________________

Для каждого респондента репрезентативной выборки определены: а) пол; б) один из пяти предпочитаемых политических лидеров:

Проверяется содержательная гипотеза о зависимости политических предпочтений от пол а.

Н₀: классификации объектов по двум основаниям являются независимыми (распределение объектов по полу не зависит от их распределения по предпочтениям политических лидеров).

Проверяем Н₀ на уровне а = 0, 05.

Шаг1. Составляем таблицу сопряженности для теоретических (ожидаемых) частот - с теми же полями, что и для таблицы эмпирических (наблюдаемых) частот. Рассчитываем значения теоретических частот для каждой ячейки этой таблицы по формуле 9.3.

для ячейки (x_1, y₁ )f _т =(51*16)/105 = 7, 77;

для ячейки (x_1, y₂ )f _т =(51*37)/105 = 17, 97;

для ячейки (x_1, y₃ )f _т =(51*29)/105 = 14.09;

для ячейки (x_1, y₄ )f _т =(51*13)/105 = 6, 31;

для ячейки (x_1, y₅ )f _т =(51*10)/105 = 4, 86;

для ячейки (x_2, y₁ )f _т =(54*16)/105 = 8, 23;

для ячейки (x_2, y₂ )f _т =(54*37)/105 = 19, 03;

для ячейки (x_2, y₃ )f _т =(54*29)/105 = 14, 91;

для ячейки (x_2, y₄ )f _т =(54*13)/105 = 6, 69;

для ячейки (x_2, y₅ )f _т =(54*10)/105 = 5, 14;

Отметим, что суммы теоретических частот по строкам (столбцам) должны быть рав­ны соответствующим суммам эмпирических частот.

Ш а г 2. Рассчитываем эмпирическое значение критерия χ ²-Пирсона и число степе­ней свободы по формуле 9.2.

χ ²_Э=(5-7.77)² /7.77 + (25-17.97)² /17.97+(10-14.09)² /14.09 + (8-6.31)² /6.31+ (3-4.86)² /4.86 +(11-8.23)² /8.23 + (12-19.03)² /19.03+(19-14.91)² /14.91 + (5-6.69)² /6.69+ (7-5.14)² /5.14=11.84.

df=(k-1)(l-1)=(2-1)(5-1)=4

Ш а г 3. Определяем р -уровень по таблице критических значений χ ²-Пирсона и прини­маем статистическое решение. Для df= 4 наше эмпирическое значение располага­ется между критическими для р = 0, 05 и р = 0, 01. Следовательно, р-уровень в нашем случае р < 0, 05. Мы можем отклонить Н₀.

Ш а г 4. Формулируем содержательный вывод. Обнаружена статистически значимая зависимость политических предпочтений от пола (р < 0, 05).

Порядок расчетов остается тем же для любого числа градаций того и друго­го признака, за исключением случая таблиц сопряженности 2x2. Для упрощения арифметических расчетов может быть использована формула, эквива­лентная формуле 9.2:

где N— общая численность выборки; k, l — число строк и столбцов таблицы сопряженности.

Обратим внимание, что при отклонении Н₀ принимается альтернативная гипотеза о связи двух оснований классификации, которая проявляется по крайней мере для одной ячейки таблицы сопряженности. Но остается неиз­вестным то, в отношении каких именно ячеек таблицы сопряженности связь проявляется, а в отношении каких — не проявляется. Иными словами, воз­никает проблема множественных сравнений. И для дальнейшей конкретиза­ции результатов необходим анализ соотношения 2-х долей или таблиц со­пряженности 2x2.

Исследование связи пола и предпочтений политических лидеров (см. пример 9.4) может быть продолжено. Так, может быть дополнительно проверена гипотеза о том, что лидер № 2 предпочитается чаще мужчинами, чем женщинами. Тогда необходи­мо сравнивать эмпирическое рас­пределение предпочтений мужчин и женщин (25: 12) с равномерным распределением (13, 5: 13, 5) — при помощи метода сопоставления эмпирического и теоретического распределений, Может быть также проверена гипотеза о том, что ли­дер № 2 чаще предпочитается муж­чинами, а лидер № 3 — женщина­ми. Тогда необходимо сопоставить два эмпирических распределения: 25: 12 и 10: 19 — при помощи ана­лиза таблиц сопряженности 2x2.