Типовые примеры. 1.Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве

1. Векторы образуют ортонормированный базис в унитарном пространстве. Найти скалярное произведение , если

.

► В рассматриваемом случае в соответствии со свойствами скалярного произведения в унитарном пространстве можно записать ◄

2. В унитарном пространстве со скалярным произведением вида построить ортонормированный базис по данному

.

► Сначала проведём процедуру ортогонализации. В данном случае она аналогична описанной для евклидова пространства. Положим

.

Используя условия ортогональности, получим

.

Теперь отнормируем векторы :

◄

§5. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.

1. Отображение из линейного пространства в линейное пространство называется линейным отображением, или линейным оператором, если для любых векторов из и любой константы a выполняются равенства:

1)

2)

Заметим, что линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, .

Любая матрица размера задаёт линейное отображение пространства в пространство . С другой стороны, любое линейное отображение L конечномерных пространств можно задать с помощью матрицы.

Представим вектор x в виде , где - координаты, - базисные векторы, то по свойствам оператора получим

, откуда видно, что образ вектора зависит лишь от координат этого самого вектора и от того, куда отображаются оператором n базисных векторов пространства, то есть зависит от векторов . Матрица, составленная из этих векторов (по столбцам), является матрицей линейного оператора.

Замечание. Рассмотрим линейный оператор, отображающий векторы в пространстве . Этот оператор – знакомое ещё из школы линейное отображение вида . Причём коэффициент может рассматриваться в качестве матрицы оператора (матрица порядка 1), x – вектор в пространстве . Задать линейное отображение на элементе x = 1 достаточно, чтобы знать образ любого числа x при таком отображении. Фактически, здесь число играет роль и матрицы размеров , и образа единицы: .

2. Построение матрицы линейного оператора. Пусть отображение задано с помощью формулы

то есть для координат произвольного исходного вектора определены координаты его образа. Тогда, рассматривая вместо произвольного вектора x вектор , найдём его образ, это будет вектор . Для этого в формуле, задающей образ вектора, полагаем , , …, . Аналогично находим образы для , …, . Из координат образа вектора составляем 1-й столбец матрицы линейного оператора, аналогично из координат последующих векторов – остальные столбцы. Рассмотрим на примере.

Пример. Пусть оператор задан с помощью формулы:

.

► Прежде всего, докажем, что это отображение – действительно линейный оператор. Отобразим сумму векторов:

. Теперь каждую координату получившегося вектора можем преобразовать:

.

Аналогично для умножения на константу:

Для того чтобы найти матрицу этого линейного оператора, нужно, как было сказано выше, подставить значения x₁=1, x₂=0, а затем x₁=0, x₂=1. В этом примере образы базисных векторов – соответственно (3, 1) и (2, -1). Поэтому матрица линейного оператора будет иметь вид:

.◄

Пример. .

► Построим матрицу оператора. Отображая вектор (1, 0, 0), получаем (1, 4, -1), соответственно (0, 1, 0) переходит в (2, 1, -2), а вектор (0, 0, 1) – в (-1, 1, 3). Матрица линейного оператора:

.◄

Если задана система из n векторов, образующих базис, и какая-нибудь произвольная система n векторов (возможно, линейно-зависимая), то однозначно определён линейный оператор, отображающий каждый вектор первой системы в соответствующий вектор второй системы.

Матрицу этого оператора можно найти двумя способами: с помощью обратной матрицы и с помощью системы уравнений.

Пусть - матрица оператора в базисе . По условию, для всех индексов . Данные n равенств можно записать в виде одного матричного равенства: , при этом столбцы матрицы - это векторы , а столбцы матрицы - векторы . Тогда матрица может быть найдена в виде .

Пример. Найти матрицу линейного оператора, отображающего базис в систему векторов .

► Здесь , , , и получаем:

.

Проверка осуществляется умножением получившейся матрицы на каждый вектор: .◄

Пример. Линейными операторами являются как правое, так и левое векторное умножение на фиксированный вектор в трёхмерном пространстве, то есть отображения вида и .

► Построим матрицу одного из этих операторов, .Для этого найдём образы всех трёх базисных векторов линейного пространства. .

Аналогично, ,

.

Координаты полученных векторов запишем в виде столбцов матрицы оператора.

Матрица оператора: .

Аналогично можно построить матрицу линейного оператора :

.◄

Пример. Линейный оператор дифференцирования в пространстве всех многочленов степени не более n. Это пространство размерности n+1. Возьмём в качестве базиса элементы , , , …, .

► , , , аналогично получим , …, .

Матрица этого линейного оператора:

◄

3. Сумма, произведение линейных операторов. Для любых двух линейных операторов определён оператор , называемый суммой данных двух операторов. Действие оператора на любой вектор пространства определяется так: .

Для всякого линейного оператора определён оператор , называемый произведением на число . Действие этого оператора задаётся с помощью формулы .

Для линейных операторов , , определён оператор, называемый композицией двух исходных операторов и обозначаемый . Композиция определяется таким образом: .