Типовые примеры. 1. В евклидовом пространстве построить ортонормированный базис по данному

1. В евклидовом пространстве построить ортонормированный базис по данному

► Проведём вначале ортогонализацию, т.е. построим ортогональный базис . Проверим прежде всего, нет ли среди векторов ортогональных. Вычислим :

.

Откуда следует, что векторы и ортогональны. Они сразу входят в состав ортогонального базиса .

Далее определим , пользуясь процедурой ортогонализации. Ищем в виде .

Из условий ортогональности имеем

.

Таким образом Теперь отнормируем базис , т.е. переведём его в ортонормированный базис , получим

◄

2. Дополнить до ортогонального базиса пространства систему векторов

► Вначале ортогонализируем . Положим . Исходя из условия ортогональности имеем .

Построим . Пусть . По условиям ортогональности , откуда имеем

.

Общее решение полученной системы есть

ФСР строится стандартным способом и состоит из двух линейно независимых решений:

Вектор ортогонален векторам и, следовательно, входит в ортогональный базис. Вектор также ортогонален , но не ортогонален . Действительно

.

Проверим теперь, является ли система векторов линейно независимой. Для установления факта зависимости (независимости) этих векторов вычислим определитель, составленный из их координат

Неравенство нулю этого определителя означает, что однородная система уравнений для коэффициентов линейной комбинации рассматриваемых векторов имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, векторы линейно независимы и составляют базис в пространстве . Остаётся теперь ортогонализировать вектор . Следуя стандартной процедуре, ищем в виде

Таким образом окончательно в качестве ортогонального базиса в имеем .◄