Типовой пример

► .◄

Многочлены от матриц. Пусть - произвольная квадратичная матрица -го порядка, - натуральное число. Тогда -ой степенью матрицы называется произведение матриц, каждая из которых равна

Нулевой степенью квадратичной матрицы называется единичная матрица: . Первой степенью матрицы называется сама матрица: .

Многочленом степени от квадратичной матрицы называется выражение вида , где - числа.

Типовые примеры

1. Вычислить выражение , если .

► Выражение представляет собой матричный многочлен

, где - единичная матрица.

Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:

,

, .

Подставив всё это в , имеем

.◄

2. Найти значение , если .

► ◄

Пример

Данные о совокупных продажах (в тыс.руб.) некоторого торга в 1-ом и 2-м кварталах определенного года, записаны соответственно матрицами

= ; = .

Требуется записать в виде матрицы данные о совокупных продажах (в тыс. руб.) на 1-ое полугодие рассматриваемого года.

► Очевидно, искомая матрица Х является суммой двух данных матриц А и В, т.е.

= .◄

Пример

Магазином в течение дня в розницу продано 45, 30 и 50 единиц трёх видов товаров, соответственно по ценам 1; 2; 0, 5 (усл. ед.). Вычислить дневную выручку от розничной продажи всех видов товаров.

► Представим данные о проданных товарах как матрицу = , а соответствующие цены (в тыс. руб) как матрицу = . Тогда искомую выручку можно записать как произведение матрицы и матрицы , т.е.

(тыс. руб).

Следовательно, дневная выручка магазина от розничной продажи товара, составляет 130(тыс. руб).◄

Пример. Предположим, что указанный в предыдущем Типовой примере магазин кроме розничных, осуществляет также продажи оптовые на ярмарке и по линии посылторга. Причем данные о продажах за 1 день каждого вида товара записаны в таблице.

Требуется подсчитать дневную выручку от продаж (розничной, оптовой, посылторговской) каждого вида по отдельности. Выполнять эти вычисления с помощью матричной алгебры, предварительно переформулировав условие задачи.

► Данные о продажах (в штуках) некоторого магазина за 1 день запишем в виде матрицы:

,

где в строках указаны количества (в шт.) товара по видам продаж (розничная, оптовая и посылторговская), а в столбцах – количество (в шт.) по видам товаров (костюм, пальто, платье).

Данные о ценах (в тыс. руб.) записаны матрицей-столбцом , элементы которой, являются ценами соответственно первого, второго и третьего (костюма, пальто, платья) видов товаров.

Вычислить дневную выручку от продажи каждого вида товаров. Искомые дневные выручки продажи каждого из трех видов товара можно записать в виде матрицы-столбца и определить эту матрицу как произведение матриц и следующим образом:

Следовательно, дневные выручки от продажи первого, второго и третьего видов товара составляют соответственно: 130, 108 и 60 (тыс.руб.).◄

Пример. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 ден. ед., в магазин М₂ - 70, а в М₃ - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.

► Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.

, .

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден. ед.◄

Пример

Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором . Используются ткани четырех типов . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.

1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.

► Обозначим через матрицу, данную нам в условии, т. е. ,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор умножить на матрицу :

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу и вектор :

.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

.

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

.

Итак, (ден. ед).◄

Пример

Имеется 4 предприятия, выпускающие 3 вида изделий a, b, ¡ и использующие при производстве 2 вида сырьевых материалов. Данные о дневной производительности предприятия по каждому изделию (число изделий в день) и о затратах сырья на 1ед изделия (кг/шт), а также число дней работы каждого предприятия и стоимость в руб. кг сырья каждого вида, даны в таблице.

Требуется определить (записав с помощью операций над матрицами):

1) cуммарную производительность (за весь рабочий период) каждого предприятия по каждому из изделий.

2) количество каждого вида сырья, необходимого на каждом предприятии и для всех четырех предприятий.

3) размеры кредитов, которые необходимо предоставить всем предприятиям на закупку сырья.

► Прежде всего запишем условие задачи в матричном виде. Пусть матрица

– матрица производительности, – матрица затрат сырья и матрица -

матрица цен, тогда

; ; .

1. Для расчета суммарной производительности используем запись времени работы каждого из предприятий в виде диагональной матрицы

.

Тогда суммарная производительность (за рабочий день) будет:

× =

2. Расход сырья на каждом предприятии найдется из выражения:

× =

Суммарное количество I и II видов сырья по всем предприятиям можно получить, умножив матрицу – строку на матрицу

= .

3. Размеры кредитов определяются стоимостью сырья, используемого каж-

дым предприятием, путем умножения матрицы на матрицу .

= =1 917 900. Размер кредитов всем предприятиям равен 1 917 900 руб.◄