Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности f (x) имеет вид:

(6.13)

Кривая распределения f (x) и график функции распределения F (x) случайной величины Х приведены соответственно на рис. 7.3 и рис. 7.4.

Рис. 7.3 Рис. 7.4

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону, есть

(6.14)

ее математическое ожидание

,

(6.15)

а дисперсия

.

(6.16)

Отсюда следует, что для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению, т.е.

.

Вероятность попадания в интервал [ a; b ] непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону, находится как

.

(6.17)

Пример 6.1. Установлено, что время ремонта железнодорожных вагонов есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт вагона потребуется менее 7 дней, если среднее время ремонта вагонов составляет 10 дней.

Решение. По условию математическое ожидание М (Х) = 1/ λ = 10, откуда параметр λ = 0, 1. По формуле (6.17) находим вероятность попадания случайной величины Х в интервал [0, 7]:

Р (0 < Х < 7) = е ^{-0, 1·0} – е ^{-0, 1·7} = 1 – е ^{-0, 7} ≈ 0, 503. ◄

Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания. Так например, интервал времени между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром λ – интенсивностью потока.

Кроме того, показательное распределение широко применяется в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.