Закон распределения случайной величины

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически или графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, т.е.

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Отметим, что события X = x ₁, X = x ₂, …, X = x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения x ₁, x ₂, …, x_n, являются несовместными и единственно возможными, т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, т.е.

.

(4.1)

Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а оси ординат – соответствующие им вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную линию, которую называют многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Пример 4.1. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Составить закон распределения случайной величины Х – общего числа попаданий в мишень, если вероятность поражения мишени в одном выстреле для первого стрелка равна 0, 8, а для второго – 0, 6.

Решение. Очевидно, что возможные значения Х – 0, 1, 2. Пусть А ₁ – событие состоящее в том, что первый стрелок попадет в мишень, А ₂ – второй стрелок попадет в мишень. Тогда

Р (Х = 0) = Р ( ) = Р ()· Р () = (1 – 0, 8)(1 – 0, 6) = 0, 2·0, 4 = 0, 08;

Р (Х = 1) = Р (А ₁ + А ₂) = Р (А ₁)· Р () + Р ()· Р (А ₂) = 0, 8·0, 4 + 0, 2·0, 6 = 0, 44;

Р (Х = 2) = Р (А ₁ А ₂) = Р (А ₁)· Р (А ₂) = 0, 8·0, 6 = 0, 48.

Записываем ряд распределения случайной величины Х.

На рис. 4.1 полученный ряд распределения представлен графически в виде многоугольника (полигона) распределения вероятностей случайной величины Х. ◄

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так если случайная величина Х может принимать значения x_i (i = 1, 2, …, n), а случайная величина Y – значения y_j (j = 1, 2, …, m), то независимость случайных величин X и Y означает независимость событий X = x_i и Y = y_j при любых i = 1, 2, …, n и j = 1, 2, …, m. В противном случае случайные величины называются зависимыми.