Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Пример 2.2. В урне 10 шаров: 2 красных, 3 зеленых и 5 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного (событие А), либо зеленого шара (событие В). Вероятность появления красного шара Р (А) = , вероятность появления зеленого шара Р (В) = . События А и В несовместны, т.к. появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета. Следовательно, теорема сложения применима. Искомая вероятность

Р(А + В) = Р(А) +Р(В) = + = = 0, 5. ◄

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий А₁, А₂, …А_n, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р () = 1.

(2.3)

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности для практического применения. При решении задач часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события , чем прямого события А. В этом случае следствие 2 используется в виде

Р (А) = 1 – Р ().

(2.4)

Пример 2.3. Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 18?

Решение. В результате бросания трех игральных костей могут появиться 16 различных сумм очков от 3 до 18, которые образуют полную группу событий. Для решения задачи следует вычислить вероятность появления 15-ти сумм очков от 3 до 17, а затем сложить их. Это довольно трудоемкая операция. Поступим по-другому. Событие «сумма выпавших очков меньше 18» и событие «сумма выпавших очков равна 18» являются противоположными. Обозначим их А и . Очевидно, что проще найти вероятность противоположного события.

При бросании трех игральных костей общее число исходов n = 6·6·6 = 216. 18 очков могут выпасть только в одном случае, когда на всех костях выпадет по 6 очков, т.е. число благоприятных исходов m = 1. Таким образом, вероятность противоположного события Р () = .

Зная вероятность противоположного события, находим вероятность интересующего нас события:

Р (А) = 1 – Р () = 1 – = . ◄

Прежде чем сформулировать теорему умножения вероятностей, введем понятие зависимых и независимых событий.