Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Пример 3: Биологическая модель.






1. Постановка задачи.

Каким образом изменяется количество хищников и их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества.

2. Построение модели и формализация.

Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра – Лотка [20] ).

Пусть и – число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв равен , где – скорость размножения жертв в отсутствие хищников, – потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи относительная скорость изменения популяции хищников равна , наличие пищи компенсирует убывание, и при имеем .

Таким образом, система Вольтерра – Лотка имеет вид:

где .

3. Разработка алгоритма и программы.

В принципе данный шаг решения задачи сводится к описанию последовательности решения системы уравнения Вольтерра – Лотка и применению любого математического пакета программ (например, MathCAD, MatLab) или офисного приложения (например, Excel), имеющего средства для решения поставленной задачи либо выбранного языка программирования для написания программы.

4. Компьютерный эксперимент.

Итогом компьютерного эксперимента являются построение графиков (рис.5.1, рис.5.2).

Рис.5.1.График развития популяции. Рис.5.2.Фазовая кривая числен- ности хищников и жертв.

5. Анализ результатов.

Видно, что процесс имеет колебательный характер (рис.5.1). При заданном начальном соотношении числа особей обоих видов 3: 1 обе популяции сначала растут. Когда число хищников достигает величины , популяция жертв не успевает восстанавливаться и число жертв начинает убывать. Уменьшение количества пищи через некоторое время начинает сказываться на популяции хищников, и, когда число жертв достигает величины (в этой точке ) , число хищников тоже начинает сокращаться вместе с сокращением числа жертв. Сокращение популяции происходит до тех пор, пока число хищников не достигнет величины (в этой точке ) . С этого момента начинает расти популяция жертв; через некоторое время пищи становится достаточно, чтобы обеспечить прирост хищников, обе популяции растут, и процесс повторяется снова и снова. На графике четко виден периодический характер процесса. Количество жертв и хищников колеблется возле величин соответственно (дробные числа здесь не означают «половину волка»: величины могут измеряться в сотнях, тысячах и т.п.). Периодичность процесса явственно видна на фазовой плоскости: фазовая кривая – замкнутая линия (рис.5.2). Самая левая точка этой кривой, , – это точка, в которой число жертв достигает наименьшего значения. Самая правая точка, , – точка пика популяции жертв. Между этими точками количество хищников сначала убывает до нижней точки фазовой кривой . Фазовая кривая охватывает точку .Это означает, что система имеет стационарное состояние , которое достигается в точке . Если в начальный момент система находилась в стационарной точке, то решение не будут изменяться во времени, останутся постоянными. Всякое же другое начальное состояние приводит к периодическому колебанию решений. Неэллиптичность формы траектории, охватывающей центр, отражает негармонический характер колебаний.

Отметим, что рассмотренная модель может описывать поведение конкурирующих фирм, рост народонаселения, численность воюющих армий, изменение экологической обстановки, развитие науки и др.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.