Решение. Обозначим один из катетов треугольника через , тогда гипотенуза будет равна , а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:

Обозначим один из катетов треугольника через , тогда гипотенуза будет равна , а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:

.

Площадь треугольника , так как должна быть максимальной, то или не существует. Находим производную:

.

не существует, если , но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. , если . Тогда .

Проверяем является ли эта точка точкой максимума. При , а при . Таким образом при площадь треугольника будет наибольшей.

Гипотенуза будет равна , т. е. , где
– угол, прилежащий к катету . Значит, ; другой угол будет .

Следовательно, искомый треугольник – это прямоугольный треугольник с углами и сторонами , и .

Пример 7.7. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.