ББК В 161.54 я 73

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Методическое пособие

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

УДК 517.2(075.8)

ББК В 161.54 я 73

В 656

Рецензент:

доцент кафедры «Высшая математика»,
кандидат физико-математических наук

Виноградова П.В.

Войтюк М.И.

Методическое пособие соответствует ГОС ВПО дисциплины “Высшая математика”, “Математический анализ” всех направлений и специальностей.

Изложены краткие теоретические сведения по дифференциальному исчислению функции одной переменной, рассмотрены примеры исследования и построения графиков функции с помощью производной, приведены варианты индивидуальных заданий.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических специальностей первого курса дневной формы обучения, изучающих дисциплину “Высшая математика”, “Математический анализ” Рекомендуется преподавателям для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов.

УДК 517.2(075.8)

ББК В 161.54 я 73

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный

университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2007

Введение

Пособие содержит весь необходимый материал по дифференциальному исчислению функций одной переменной, изучаемый студентами инженерно-технических и экономических специальностей университетов. Для углубленного изучения этого раздела в конце пособия приведен список рекомендуемой учебной литературы.

Пособие состоит из восьми параграфов, в каждом из которых содержатся необходимые теоретические сведения и подробно разобранные примеры.

В последнем параграфе приведены варианты индивидуальных заданий для студентов всех специальностей дневной формы обучения.

1. Понятие производной, её геометрический смысл

1.1. Понятие производной

Пусть функция определена в точке x ₀ и некоторой ее окрестности, x –точка из этой окрестности. Разность x–x ₀ обозначим через Δ x и назовем приращением аргумента, а разность f (x)– f (x ₀) обозначим через Δ y и назовем приращением функции.

Итак, Δ x = x–x ₀, Δ y = f (x)– f (x ₀). Из равенства Δ x = x–x ₀ получаем равенство x = x ₀ + Δ x, тогда Δ y = f (x ₀ + Δ x)– f (x ₀).

Производной функции в точке x ₀ в обозначении называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

.

Производные элементарных функций представлены в табл. 1.

Таблица 1

1. . 2. . 3. . 4. 5. .

6. . 7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12. . 13. .

1.2. Геометрический смысл производной

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 1 изображен график непрерывной функции . Точка M ₀ на графике имеет координаты (x ₀, ). Прямая M ₀ M является касательной для линии и наклонена к оси Ox под углом .

Геометрическое истолкование производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x ₀ равен производной этой функции в точке x ₀:

(1.1)

Очевидно, что уравнение касательной M ₀ K имеет вид:

(1.2)

Рис. 1.

Пример 1.1. Составить уравнение касательной к параболе в точке, где x = 1.