III. Методика измерений и расчетные данные.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.20

«ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА»

I.Цель работы: Ознакомиться с теорией теплоемкости, а также с одним из методов экспериментального определения удельной теплоемкости твердых тел и определить удельные теплоемкости стали, алюминия и латуни.

II.Описание установки: Установка ФПТ-8, предназначенная для определения теплоемкости твердых тел, схематически изображена на рис. 3. Она представляет собой конструкцию настольного типа, состоящую из трех основных частей(см. рис. 3):

1) блока приборного БП-8, поз. 1;

2) блокарабочего элемента РЭ-8 поз. 2;

3) стойки, поз. 3.

Рис. 3.

Общий вид установки ФПТ 1-8.

1 – блок приборный БП-8,

2 – блок РЭ-8,

3 – стойка,

4 – нагреватель (калориметр),

5 – образец.

III. Методика измерений и расчетные данные.

Теплоемкостью тела называется величина, равная количеству теплоты dq, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин:

. (1)

Теплоемкость тела измеряется в джоулях на кельвин (Дж/К).

Теплоемкость моля вещества называется молярной теплоемкостью С_m. Измеряется она в джоулях на моль× кельвин (Дж/(моль× К)).

Теплоемкость единицы массы вещества называется удельной теплоемкостью С. Измеряется она в джоулях на кг× кельвин (Дж/(кг× К)). Удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением:

,

где m - молярная масса. При нагревании твердое тело не совершает работы над внешними телами, так как объем тела практически не меняется. Следовательно, согласно первому началу термодинамики (dq = dU + dА), все тепло идет на приращение внутренней энергии.

На основании (1) получаем:

. (2)

В твердых телах частицы “закреплены” в определенных положениях равновесия, отвечающих минимуму энергии взаимодействия их друг с другом. Частицы могут совершать только колебания около равновесного положения в узлах кристаллической решетки. Направление колебаний непрерывно и хаотически меняется с течением времени.

В случае химически простых веществ это число равно числу Авогадро:

U_m = N_A3kT, (3)

где R = kN_A - универсальная газовая постоянная. Тогда, согласно (2), молярная теплоемкость твердого тела должна быть равна:

C_m = 3R. (4)

Так как R = 8, 3 Дж/(моль× K), то С_m» 2, 5 × 10⁴ Дж/К× Кмоль. Следовательно, теплоемкость моля химически простых тел в кристаллическом состоянии одинакова и равна 3R. Это утверждение называется законом Дюлонга и Пти.

Если твердое тело является химическим соединением, например, NaCI, то его кристаллическая решетка построена из атомов различных типов. Если в молекуле n атомов, и каждый атом обладает энергией 3kТ, то на молекулу придется в среднем энергия 3nкТ. Молярная теплоемкость будет равна

C_m = 3nkN_A = 3nR, т. е. в n раз больше, чем у того же вещества при одноатомной молекуле. В кристалле каменной соли мы имеем расположенными по узлам решетки ионы Na⁺ и CI^-, общее число которых в моле равно 2 Na.

Молярная теплоемкость кристаллической каменной соли должна равняться С_m=6kN_A = 6R. Следовательно, молярная теплоемкость твердого соединения равна сумме молярных теплоемкостей элементов, из которых оно состоит.

Это правило было найдено эмпирически и называется законом Джоуля и Коппа.

Указанные законы выполняются с хорошим приближением для многих веществ при комнатной температуре. Но при понижении температуры теплоемкость твердого тела уменьшается, стремится к нулю при абсолютном нуле. У алмаза и бора теплоемкость при комнатной температуре оказалась ниже 3R.

Колеблющийся атом следует уподоблять не классическому, а квантовому осциллятору, обладающему дискретным энергетическим спектром. Энергия линейного осциллятора, согласно квантовой теории, есть целое кратное величины hn/e_n= nh, где h - постоянная Планка, n – любое целое число. Средняя энергия такого осциллятора вычисляется по формуле Планка:

. (5)

При высоких температурах, так как hn< < kT, имеем:

и формула (5) переходит в классическую < e_n > = kT.

Основу теории Эйнштейна составляет представление о твердом теле как совокупности N независимых атомов - осцилляторов, колеблющихся с одинаковой частотой n. Средняя энергия, приходящаяся на одну степень свободы осциллятора < e >, определяется формулой (5).

Осцилляторы считаются трехмерными, т. е. имеющими три степени свободы. Поэтому средняя энергия тепловых колебаний одного атома равна

3 < e >, а внутренняя энергия одного моля твердого тела определяется выражением:

. (6)

Отсюда . (7)

При больших T (hv/kT < < 1) имеем С_μ =3R, т. е. выражение (7) переходит в закон Дюлонга и Пти. В случае низких температур, когда hv/kT > > 1, можно пренебречь единицей в знаменателе (7):

. (8)

При Т ® 0 выражения (7) и (8) стремятся к нулю, в полном соответствии с опытом (hn/kT ® ¥; ® 0). Так как экспонента убывает значительно быстрее, то С_m ® 0

С точки зрения квантовой теории теплоемкости, тот факт, что некоторые вещества (алмаз, бор и другие) не подчиняются закону Дюлонга и Пти даже при комнатных температурах, объяснятся именно тем, что у этих веществ характеристическая температура Дебая настолько высока, что комнатная температура должна считаться низкой температурой (если для серебра q = 210 °С, для алюминия q = 400 °С, для свинца q = 90 °С, то для алмаза q = 2000 °С).

Удельная теплоемкость твердого тела определяется по формуле:

, (9)

где С - удельная теплоемкость тела;

q - количество теплоты, поглощенное образцом при нагревании на ; m – масса образца; – разность конечной (t₂) и начальной (t₁) температур.

Если для нагрева пустого калориметра на требуется q₁ джоулей тепла, а для нагрева калориметра с исследуемым образцом на – q₂ джоулей тепла, то на нагрев самого образца идет:

q_обр = q₂ - q₁. (10)

В установке ФПТ-8 нагрев производится пропусканием тока через нагреватель. Количество теплоты, выделяемое нагревателем:

q = IUt, (11)

I – ток, проходящий через нагреватель;

U – напряжение на нагревателе;

t – время нагрева.

Если мощность нагрева остается постоянной в течение всего эксперимента, то после подстановки выражения для количества теплоты из формулы (11) в формулу (10)

q = IU × (t₂ - t₁), (12)

t₁ – время нагрева пустого калориметра на ,

t₂ – время нагрева калориметра с образцом на .

Тогда:

. (14)