Контрольной работы № 7

Задание 7.1. Для доставки экстренного сообщения отправлены различными маршрутами два курьера. Вероятности своевременной доставки сообщения курьерами равны 0, 8 и 0, 6 соответственно. Найти вероятности того, что:

а) своевременно успеют оба курьера; б) только один курьер;

в) хотя бы один курьер; г) оба курьера опоздают.

Решение. Обозначим через A, B случайные события, наступающие в случаях, когда успевают первый или второй курьеры соответственно, р(А)=0, 8, р(В)=0, 6. Введем также события: С - успевают оба курьера, D - только один курьер, Е - хотя бы один курьер, F - оба курьера опоздают.

а) Представим событие в виде С=А·В. Применяя теорему умножения вероятностей и учитывая очевидную из условия независимость событий А, В находим

Р(С) = Р(А · В) = Р(А) · Р(В) = 0, 8 · 0, 6

б) Согласно условию D=А· + ·В (чертой обозначены противоположные события). По теореме сложения вероятностей с учетом несовместности слагаемых имеем

Р(D) = P(А· + ·В) = P(А· ) + P( ·В)

Вновь применяя теорему умножения при независимых сомножителях находим

P(D) = P(A)·P() + P()·P(B) = P(A) · (1- P(B)) + (1- P(A)) · P(B) =

= 0, 8(1-0, 6) + (1-0, 8) = 0, 28.

в) Здесь D = A + B. Слагаемые А, В совместны, поэтому теорема сложения запишется

P(D) = P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A·B) = P(A) + (B) - P(A) · P(B) = 0, 8+0, 6-0, 8·0, 6 = 0, 92.

г) По условию F = · , откуда P(F) = P( · ) = P() · P() = (1-P(A))(1-P(B)) =0, 2 · 0, 4 = 0, 08.

Заметим также, что события D + F является достоверным, поэтому P(D + F) = 1. Поскольку D, F несовместны, то P(D + F) = P(D) + P(F), откуда можно также найти вероятность P(F) = 1- P(D) = 0, 08.

Задание 7.2. На сборку телевизоров поступают однотипные кинескопы от двух заводов, поставляющих соответственно 60% и 40% кинескопов. Вероятность для кинескопа оказаться нестандартным равна: 0, 1 - на первом заводе, 0, 2 - на втором. Найти вероятность того, что:

а) очередной на сборке кинескоп будет нестандартным;

б) оказавшийся нестандартным кинескоп изготовлен вторым заводом.

Решение. Обозначим через Н_i (i = 1, 2) гипотезу - кинескоп изготовлен i-тым заводом. Очевидно, что Н₁, Н₂ несовместны и Н₁ + Н₂ = I - достоверное событие. Из условия видно также, что Р(Н₁) = 0, 6, Р(Н₂) = 0, 4. Обозначим через А событие: очередной кинескоп окажется нестандартным.

а) По формуле полной вероятности имеем: Р(А) = Р(А / Н₁) · Р(Н₁) + Р(А / Н₂) · Р(Н₂).

Согласно условию Р(А / Н₁) = 0, 1, Р(А / Н₂) = 0, 2,

поэтому Р(А) = 0, 1·0, 6 + 0, 2·0, 4 = 0, 14.

б) Для вычисления искомой вероятности Р(Н₂ / А) используем формулу Байеса

Задание 7.3. Построить ряд распределения, функцию распределения и её график, и найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х - числа наступлений случайного события А в указанный ниже серии независимых испытаний:

поступила партия из 3 изделий, каждое из которых может оказаться бракованным (событие А, Р(А) = 0, 4).

Решение. Случайная величина (СВ)Х - число бракованных изделий - может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли при р = 0, 4, q = 1- 0, 4 = 0, 6.

, ,

,

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

Функция распределения по определению равна F(x) = P(X < x) и запишется:

График показан на рисунке.

F(x)

1

0, 8

0, 6

0, 4

0, 2

x

1 2 3

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

D[ x ] = 2, 16 - (1, 2)² = 0, 72.

Задание 7.4. По заданной функции распределения F(x) CB X найти плотность распределения и построить её график. Вычислить вероятность Р(а ≤ Х ≤ в) попадания значения СВ в заданный интервал, математическое ожидание и дисперсию.

а = -3; в = 5.

Решение. Плотность распределения определяется по формуле

и показана на рисунке

f (x)

0, 75

0 2 6 x

Искомая вероятность равна:

Математическое ожидание и дисперсия запишутся:

Задание 7.5. Найти вероятность попадания в заданный интервал значения нормаль-

ного распределённой СВ Х, если известно её математическое ожидание М[ x ] и дис-

персия D[x].

M[ x ] = 4; D[ x ] = 25; a = -7; в = 9.

Решение. Искомая вероятность вычисляется по формуле

Среднеквадратическое отклонение поэтому

Здесь учтена нечётность вспомогательной функции

Берём её значение из таблицы: Ф(1) =, Ф(2, 2) =,

откуда Р =.

Задание 7.6. В партии из n деталей каждая может оказаться стандартной с вероятностью р. С помощью локальной и интегральной формул Муавра-Лапласа вычислить вероятность того, что число стандартных деталей в партии будет:

а) равно m; б) заключено между m ₁ и m ₂.

p =0, 4; n = 350; m = 146; m ₁ = 135; m ₂ = 152.

Решение. а) Искомая вероятность при n > > 1, np > > 1 вычисляется по локальной формуле (q = 1 - p)

где вспомогательная функция имеет вид: .

Для х = 0, 66 имеем после вычислений р₁ = 0, 03.

б) Вероятность вычисляется с помощью интегральной формулы

откуда с помощью таблицы для Ф(х) и имеем Р₂ = + =

Задание 7.7. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет плотность распределения

Найти вероятность попаданий значения (X, Y) в область х ₁ ≤ х ≤ х ₂, y ₁ ≤ y ≤ y ₂, вероятность попадания значения Х в интервал х ₁ ≤ х ≤ х ₂, математическое ожидание

М[ x ] и условное математическое ожидание M[Y/X = x ].

a = 2, в = 5, х ₁ = 1, х ₂ = 9, у ₁ = - 4, у ₂ = 3.

Решение. Найдём вероятность попадания в область S(х ₁ ≤ х ≤ х ₂, y ₁ ≤ y ≤ y ₂) по формуле Р(х ₁ ≤ X ≤ х ₂, y ₁ ≤ Y ≤ y ₂) =

При вычислении интеграла учитывается та часть области S, где f ≠ 0,

т.е. 1 ≤ х ≤ 2, 0 ≤ у ≤ 3:

Плотность вероятности для составляющей Х имеет вид: .

Если х < 0 или х > 2, то f (x, y) = 0 и f ₁(x) = 0. При 0 ≤ х ≤ 2 находим

Таким образом плотность имеет вид:

(1)

Тогда

Условное математическое ожидание М[Y/X = x ] определяется с помощью услов-ной плотности распределения f ₂(y / x) составляющей Y (т.е. плотности СВ Y при условии, что СВ Х приняла известное значение х):

(2)

Согласно (1) СВ Х может принимать лишь значения 0 ≤ х ≤ 2, поэтому из (2), (1) и условия задачи получаем

Искомое математическое ожидание равно

(3)

Полученная зависимость называется уравнением регрессии Y на Х.

Задание 7.8. СВ Х имеет плотность распределения. Для СВ Y = φ (Х) найти её плотность распределения g (y), вероятность P(а ≤ Y ≤ в), математическое ожидание

M[Y] и дисперсию D[Y].

Решение. Плотность распределения СВ Y = φ (x) даётся формулой

g (y) = f (ψ (y))/ψ '(y)/ (1)

где х = ψ (у) - функция, обратная к у = φ (х). В данном случае у = φ (х) = 2 х - 3,

х = ψ (у) = (у + 3)/2. Согласно и условию задачи находим

Остальные величины можно вычислить с помощью g (y) или непосредственно через f (x) по формулам

Задание 7.9. Задана матрица перехода системы из состояния i (i = 1, 2) в состояние j (j = 1, 2) за один шаг:

Найти матрицу перехода из состояния i в состояние j за два шага.

а = 0, 3, в = 0, 7, с = 0, 8, d = 0, 2

Решение. Заданная матрица имеет вид:

Матрица перехода i → j за n шагов равна Аⁿ и для n = 2 запишется

Решение типового варианта