Векторный анализ

4.1. Криволинейные интегралы
и их физические приложения

При определении криволинейных или поверхностных интегралов предполагается, что соответствующая кривая (поверхность) погружается в скалярное или векторное поле.

4.1.1 Криволинейный интеграл I рода
от скалярной функции вдоль кривой

Пусть кривая задана параметрически:

(1)

где гладко зависят от параметра t, а – скалярное поле, в котором лежит область значений отображения (1).

Физический смысл этого выражения достаточно ясен из его обозначения: значение поля U в точке (x, y, z) умножается на длину малого участка кривой, после чего происходит суммирование по этим участкам.

В частности, если – линейная плотность проволоки, то интеграл даёт массу всего участка

Более точные определения можно найти, например [5] или [8]. Там же приведены примеры физических приложений криволинейных интегралов I рода.