Комментарии к методу Гаусса

Этот метод впервые был описан К. Гауссом (1777 – 1855) в 1849 году[1]. Однако следует заметить, что прием решения системы из n линейных уравнений с n переменными по существу совпадающий с методом Гаусса, был разработан в Древнем Китае ещё до нашей эры. Он изложен в восьмой книге анонимной древнекитайской «Математики в девяти книгах» и назван правилом «Фан-чэн». Своеобразие правила «Фан-чэн» составляет техника вычислений, приводившихся на специальной счетной доске[2].

В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования системы.

Замечания:

1. Здесь , так как в процессе преобразований уравнения вида вычеркиваются.

2. Если в процессе преобразований системы появляется уравнение , то система решений не имеет.

3. Система (2) называется системой, приведенной к разрешимому виду.

1.3.2. Комментарии к методу Жордана – Гаусса

Метод Жордана – Гаусса отличается от метода Гаусса лишь тем, что вычисление коэффициентов системы, которая получается после исключения какой-то переменной из всех уравнений, кроме одного, производится по определенному правилу – правилу Жордана – Гаусса.

Пусть в матрице коэффициентов системы . Тогда исключим переменную из всех уравнений

,

кроме уравнения с номером р:

Для этого уравнение с номером p разделим на умножим на и сложим с уравнением, номер которого i. В результате получим правило пересчета коэффициентов системы:

Расчет по последней формуле удобно производить, пользуясь мнемоническим «правилом прямоугольника», наглядно показанным на рисунке 1.

Заменяемый эл-т
				i -ая строка
		+ -
				p -ая строка
	k -ый столбец		q -ый столбец	Разрешающий эл-т

Рис. 1

1.4. Однородная система линейных уравнений

Особо выделяют фундаментальную совокупность решений, отвечающую простейшему набору значений свободных переменных: .

Для закрепления всех методов решения систем линейных уравнений рекомендуется выполнить следующие упражнения: [1] № 17.1 – 17.5, 17.6, 7) – 10), 18.1, 6), 7), 10, 12, 18.2, 18.4, 18.5, 19.1, 7), 8), 9), 10), 19.2, 19.4 – 19.5, 19.6, 19.8, 19.9 – 19.11, 19.14, 19.15, 19.17; [4] № 689 – 701, № 712 – 714, 717, 719, 725 – 797, 733, 736, 737.