Уравнение Колмогорова для вероятностей состояний

1. Размеченный граф состояния из состояния и систему переводит поток с интенсивностью l назад m

Пусть система имеет состояния S₀ S₁ S₂ S₃ с вероятностями Р₀ Р₁ Р₂ Р₃ Рассмотрим одну из вероятностей Р₀(t)

Дадим приращение для t равное Dt получим:

это может быть в случаях:

В момент t система была в состоянии S₀ а за время Dt не вышла из этого состояния.

В момент t система была в состоянии S₁ а за время Dt перешла в состояние S₀.

Из умножения независимых событий случай 1: (вероятность случая 1) состоит из произведения вероятностей:

Если вероятность того, что система выйдет из состояния S₀ за время Dt:

то вероятность, что она не выйдет из S₀ (полная группа событий):

отсюда:

Вероятность второго случая состоит из вероятности S₁ и вероятности перехода из S₁ в S₀:

Т.к. потоки имеют одинаковые характеристики то вероятность найдем сложением независимых потоков событий:

раскроем скобки и разделим на Dt

слева производная: Поэтому рассуждая аналогично:

Правила составления уравнения Колмогорова. Левая часть – производная вероятности событий.

Правая часть – сумма произведений вероятностей всех состояний из которых будут стрелки в данное составление умноженное на интенсивности соответствующих потоков событий, минус суммарная интенсивность всех потоков выводящих систему из данного состояния умноженная на вероятность данного состояния

Для предыдущего графа:

Для решения уравнения заданны начальные условия

Если мы знаем точно, что знаем в каком состоянии система S_i то тогда при а другие Р= 0

Например: если при то

Второе условие:

при система стремится к приделам

В теории случайных процессов доказано если число состояний n конечно и из каждого из них (за конечное число шагов) можно прейти в любое другое, то финальные вероятности существуют.

Поэтому:

Если количество испытаний стремиться к бесконечности то

то при этом переходим к алгебраическим уравнениям

Из этой системы, как правило, определяются финальные вероятности.

Т.к. уравнения однородны (не имеют свободных членов), то они определяют неизвестное до произвольного множителя. Поэтому вместо одного из уравнений нужно поставить нормировочное условие

Понятия теории систем массового обслуживания (СМО). Предмет теории СМО является построение математических моделей, связующих заданные условия работы СМО с её характеристиками – показателями эффективности, которые показывают её способность справляться с потоком заявок.

Основными категориями теории СМО являются:

1 Каналы обслуживания;

2 Потоки заявок (требований);

3 Обслуживание заявок.

Процесс работы СМО это случайный процесс с непрерывным временем и дискретными состояниями. Состояния системы меняются скачками. В большинстве случаев приходится считаться не только с реальной возможностью случайных факторов, которые накладываются на строгие закономерности, но и с тем, что они иногда являются определяющими для всего производственного процесса. Рассмотрим несколько примеров, в которых случайный характер функционирования системы является его характерной особенностью.

Пример 1. При построении ГПС возникает вопрос: сколько станков может обслужить транспортное средство того или иного вида, чтобы простои оборудования по причине несвоевременной доставки деталей были бы минимальны.

Пример 2. При эксплуатации оборудование выходит из строя. Восстановлением его занимаются ремонтные бригады. Определить такое число ремонтных бригад, которое позволяет минимизировать время простоя оборудования.

Перечисленные примеры обладают общими чертами: на вход системы (транспортная система, ремонтная служба) поступают заявки (рабочие, станки), нуждающиеся в обслуживании (в получении детали или инструмента, ремонте). Подобная интерпретация функционирования систем приводит к возможности представления любого рассмотренного примера в виде системы массового обслуживания (СМО), когда система заменяется одним или несколькими каналами обслуживания, на вход которого (которых) поступают заявки.

Во всех СМО характерны следующие элементы.

1. Входной поток (поток заявок или требований). Процесс поступления заявок носит, как правило, случайный характер. К числу показателей, необходимых для описания входного потока, относятся: характеристики источника заявок, тип заявки и длина интервалов времени между поступлениями заявок.

2. Механизм обслуживания. СМО различаются: числом обслуживающих каналов; количеством одновременно обслуживаемых заявок; продолжительностью и типом обслуживания. Указанные выше характеристики процесса обслуживания также описываются с помощью случайных величин.

3 . Дисциплина очереди. Если канал обслуживания занят, то пришедшие заявки образуют очередь. Правила поведения очереди могут быть: естественный порядок (первым пришел — первым обслужился), приоритетное обслуживание и случайный отбор заявок.

Если изучены или заданы входные потоки заявок и механизм обслуживания (число каналов обслуживания, продолжительность обслуживания и др.), то это дает основание для построения математической модели системы. С помощью математических моделей, отражающих основные свойства реальных систем массового обслуживания, рассчитывают характеристики, определяющие поведение этих систем при их функционировании. К числу характеристик любой СМО относятся: вероятность простоя канала обслуживания; вероятность нахождения в системе п требований; среднее число требований, находящихся в системе; среднее время ожидания требований в очереди; среднее число занятых каналов обслуживания и др.

Формула Литтла. Пользуясь графом гибели-размножения составим и решим уравнение для финальных вероятностей. Для первого перехода:

для второго:

Найдем Р₁ и первого уравнения:

Из второго уравнения найдем Р₂

Для любого

Подставим значение P_i в нормировочное условие

получим Р₀

Финальная вероятность Р₀ является одной из важнейших вероятностей.

На основе выведенной формулы можно определить ряд технологических характеристик СМО .

Рассмотрим любую СМО

Х(t) – число пришедших заявок

Y(t) – число обслуженных заявок

Остаток не обработанных заявок найдем

Если рассмотреть предположительный период t и вычислить для него среднее число заявок, то оно равно:

Если t достаточно большое но конечное:

Если правую часть

- Среднее число заявок принимаемых за элементарный промежуток времени Т:

- среднее время пребывания заявки в очереди

откуда

- формула Литтла